Determine o valor da integral
onde
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla
onde a região $ R $ é definida por $ 0 \leq x \leq 1 $ e $ 0 \leq y \leq x $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e técnicas de substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a integral dupla como uma integral iterada. A região $ R $ está limitada por $ x $ indo de 0 a 1 e, para cada $ x $, $ y $ vai de 0 até $ y = x $. Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a $ y $. Observamos que a expressão $ y \sqrt{x{2}-y{2}} $ sugere uma substituição para facilitar a integração. Vamos usar:
Derivando ambos os lados em relação a $ y $:
Passo 4
Substituindo na integral interna:
Agora, integramos $ \sqrt{u} $:
Voltando para a variável original $ u = x^{2} - y^{2} $:
Passo 5
Aplicamos os limites de $ y $ de 0 a $ x $:
Então, a integral interna resulta em $ \frac{1}{3} x^{3} $.
Resposta
Finalmente, calculamos a integral externa:
Portanto, o valor da integral é $ \frac{1}{12} $.