Determine o valor da integral
integral duplaR y raizx^2-y^2 d A
onde R=(x, y) mid 0 <= x <= 1,0 <= y <= x.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla
integral duplaR y raizx^2-y^2 , dA
onde a região $ R $ é definida por $ 0 \leq x \leq 1 $ e $ 0 \leq y \leq x $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a integral dupla como uma integral iterada. A região $ R $ está limitada por $ x $ indo de 0 a 1 e, para cada $ x $, $ y $ vai de 0 até $ y = x $. Então, a integral fica:
R

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral interna em relação a $ y $. Observamos que a expressão $ y \sqrt{x{2}-y{2}} $ sugere uma substituição para facilitar a integração. Vamos usar:
y
Derivando ambos os lados em relação a $ y $:
y raizx^2-y^2

Passo 4

Substituindo na integral interna:
integral y raizx^2-y^2 , dy = integral y raizu ( -du2y ) = -12 integral raizu , du
Agora, integramos $ \sqrt{u} $:
raizu
Voltando para a variável original $ u = x^{2} - y^{2} $:
-12 cdot 23 u^3/2 + C = -13 u^3/2 + C

Passo 5

Aplicamos os limites de $ y $ de 0 a $ x $:
y
Então, a integral interna resulta em $ \frac{1}{3} x^{3} $.

Resposta

Finalmente, calculamos a integral externa:
integral0^1 13 x^3 , dx = 13 cdot x^44 |0^1 = 112
Portanto, o valor da integral é $ \frac{1}{12} $.

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