Calcule a integral tripla.
integral triplaE e^z / y d V, onde E=(x, y, z) mid 0 <= y <= 1, y <= x <= 1,0 <= z <= x y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
I = integral triplaE e^z/y,dV
sobre a região
E = (x,y,z)mid 0 <= y <= 1,;y <= x <= 1,;0 <= z <= x,y
O conteúdo envolve integração tripla via o Teorema de Fubini e, ao final, integração por partes.

Passo 2

Vamos usar a ordem dz, depois dx e por fim dy. Assim,
I = integraly=0^1integralx=y^1integralz=0^xy e^z/y,dz,dx,dy

Passo 3

Calcule a integral interna em z:
integral0^xy e^z/y,dz
Fazendo a substituição u=z/y ou reconhecendo que a primitiva de e^z/y em z é y,e^z/y, vem
integral0^xy e^z/y,dz = l[y,e^z/yr]0^xy = yl(e^x-1r)
Logo
I = integral0^1integraly^1 yl(e^x-1r),dx,dy

Passo 4

Calcule agora a integral em x:
integralx=y^1(e^x-1),dx = l[e^x-xr]x=y^x=1 = l(e - 1r) - l(e^y-yr) = e - e^y -1 + y
Então
I = integral0^1 yl(e - e^y-1 + yr),dy = integral0^1l[y(e-1) - y,e^y + y^2r],dy

Passo 5

Separe em três integrais:
I = (e-1)integral0^1y,dy ;-;integral0^1y,e^y,dy;+;integral0^1y^2,dy
  1. integral0^1y,dy = tfrac12
  2. integral0^1y^2,dy = tfrac13
  3. Para integral0^1y,e^y,dy, use partes com u=y, dv=e^ydy: u=y, dv=e^ydyLongrightarrow du=dy,;v=e^y,
integral0^1y,e^y,dy = l[y,e^yr]0^1 - integral0^1e^y,dy = l(e - 0r) - l(e - 1r) = 1
Então
I = (e-1),12 ;-;1 ;+;13 = e-12 - 23 = 3(e-1)-46 = 3e-76

Resposta

3e-76

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