Dizer se são convergentes ou divergentes as séries:
sumn=2^+infty (-1)^nlog 3 n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
sumn=2^infty(-1)^nlog3(n)
Como aparece o fator (-1)^n, vamos tratar como série alternada do tipo sum(-1)^n bn com
bn = 1log3(n)
Para decidir a convergência usaremos o critério de Leibniz (série alternada), que exige:
  1. bn>=0 para todo n,
  2. (bn) é decrescente,
  3. limntoinftybn=0.
    Depois, verificamos a convergência absoluta.

Passo 2

Mostramos que bn é positivo, decrescente e tende a zero. Primeiro, para n>=2,
bn = 1log3(n) = ln(3)ln(n)>0
Em seguida,
limntoinftybn =limntoinftyln(3)ln(n) =0
Para a monotonicidade, considere a função contínua em (1,infty)
g(x)=ln(3)ln(x)
Temos
g'(x) =-ln(3)x,[ln(x)]^2<0 para x>1,
logo (bn) é decrescente.

Passo 3

Pelo critério de Leibniz, como bn>=0, (bn) é decrescente e bnto0, concluímos que
sumn=2^infty(-1)^nlog3(n)
converge.

Passo 4

Para verificar a convergência absoluta, analisamos
sumn=2^infty|(-1)^nlog3(n)| =sumn=2^infty1log3(n) =ln(3)sumn=2^infty1ln(n)
Usando o teste da integral,
integral2^inftydxln(x)=infty,
vemos que sumn=2^infty1/ln(n) diverge. Portanto a série de termos absolutos diverge e não há convergência absoluta.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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