Dizer se são convergentes ou divergentes as séries:
Passo 1
O enunciado pede para estudar a série
Como aparece o fator
, vamos tratar como série alternada do tipo
com
Para decidir a convergência usaremos o critério de Leibniz (série alternada), que exige:
-
para todo , -
é decrescente, -
.
Depois, verificamos a convergência absoluta.
Passo 2
Mostramos que
é positivo, decrescente e tende a zero. Primeiro, para
,
Em seguida,
Para a monotonicidade, considere a função contínua em
Temos
logo
é decrescente.
Passo 3
Pelo critério de Leibniz, como
,
é decrescente e
, concluímos que
converge.
Passo 4
Para verificar a convergência absoluta, analisamos
Usando o teste da integral,
vemos que
sumn=2^infty1/ln(n) diverge. Portanto a série de termos absolutos diverge e não há convergência absoluta.
Resposta
A série converge condicionalmente.