Exercício 9) O custo total do material utilizado na fabricação de uma caixa retangular sem tampa deve ser
10,00
\mathrm{cm}^{2}
\mathrm{cm}^{2}$ encontre as dimensões da caixa de volume máximo que pode ser fabricada.
Passo 1
O enunciado pede a caixa retangular sem tampa de volume máximo, sujeita à restrição de custo total de material de R$
.
Conteúdo: otimização com restrição (podemos usar simetria e derivadas).
Conteúdo: otimização com restrição (podemos usar simetria e derivadas).
Passo 2
Denotemos as dimensões da base por
e
(em cm) e a altura por
(em cm).
Área do fundo: e custa
R$ por c
.
Áreas dos quatro lados: e custam
R$ por c
.
A restrição de custo total é
Área do fundo:
Áreas dos quatro lados:
A restrição de custo total é
Passo 3
Como a expressão do volume
e do custo é simétrica em
e
, o máximo ocorre para base quadrada, isto é,
.
Passo 4
Tomando
, a restrição fica
Isolando
,
Passo 5
O volume torna-se
Para maximizar, derivamos e igualamos a zero:
Passo 6
Substituindo
em
ou usando cálculo direto, obtém-se
Resposta
As dimensões da caixa de volume máximo são