Exercício 9) O custo total do material utilizado na fabricação de uma caixa retangular sem tampa deve ser R 10,00 Se o material para o fundo da caixa custa 15 centavos por \mathrm{cm}^{2} e o material para os lados custa 30 centavos por \mathrm{cm}^{2}$ encontre as dimensões da caixa de volume máximo que pode ser fabricada.

Passo 1

O enunciado pede a caixa retangular sem tampa de volume máximo, sujeita à restrição de custo total de material de R$ 10,00.
Conteúdo: otimização com restrição (podemos usar simetria e derivadas).

Passo 2

Denotemos as dimensões da base por e (em cm) e a altura por (em cm).
Área do fundo: e custa R$ por c .
Áreas dos quatro lados: e custam R$ por c .
A restrição de custo total é

Passo 3

Como a expressão do volume V=xyh e do custo é simétrica em x e y, o máximo ocorre para base quadrada, isto é, x=y.

Passo 4

Tomando x=y, a restrição fica
0,15,x^2 + 0,30,(4xh) = 10 Longrightarrow 0,15,x^2 + 1,2,x h = 10
Isolando h,
h = 10 - 0,15,x^21,2,x

Passo 5

O volume torna-se
V(x) = x^2,h = x^2;10 - 0,15,x^21,2,x = 101,2x - 0,151,2x^3 = 253x - 18x^3
Para maximizar, derivamos e igualamos a zero:
V'(x) = 253 - 38x^2 = 0 Longrightarrow x^2 = 253cdot83 = 2009 Longrightarrow x = 10raiz23

Passo 6

Substituindo x em h = 10 - 0,15,x^21,2,x ou usando cálculo direto, obtém-se
h = 5raiz26

Resposta

As dimensões da caixa de volume máximo são
x = y = 10raiz23 cm, h = 5raiz26 cm

Exercícios relacionados