Determine a derivada direcional da função f(x, y, z)=x^{3} y^{2} z^{5}-2 x z+y z+3 x em P(-1,-2,1) na direção e no sentido do eixo z negativo.

Passo 1

O enunciado fornece a função f(x,y,z)=x^{3}y^{2}z^{5}-2xz+yz+3x, o ponto P(-1,-2,1) e pede a derivada direcional no sentido do eixo z negativo.
Informações relevantes:
  • Função: f(x,y,z)=x^{3}y^{2}z^{5}-2xz+yz+3x.
  • Ponto: P = (-1,-2,1).
  • Direção: “eixo z negativo”, isto é a direção do vetor (0,0,-1).
    O que é pedido: a derivada direcional de f em P na direção e sentido do eixo z negativo (um único número).

Passo 2

O que é a derivada direcional e como calculá-la na prática (aula rápida, sem pânico).
  • A derivada direcional de f em um ponto P na direção do vetor unitário \mathbf{u} mede a taxa de variação de f quando nos movemos a partir de P na direção \mathbf{u}.
  • Fórmula útil e prática:
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u},
onde \nabla f é o gradiente de f (o vetor das derivadas parciais) e \cdot denota o produto escalar.
  • Portanto, para calcular a derivada direcional: (i) calcular \nabla f=(f_x,f_y,f_z), (ii) avaliar \nabla f em P, (iii) tomar o vetor unitário \mathbf{u} da direção pedida e (iv) fazer o produto escalar \nabla f(P)\cdot\mathbf{u}.

Passo 3

Determinar o vetor direção e verificar se precisa normalizar.
  • A direção pedida é “eixo z negativo”, isto é o vetor (0,0,-1). Escrevendo em TeX: (0,0,-1).
  • Norme (comprimento) do vetor (0,0,-1):
\|\,(0,0,-1)\,\|=\sqrt{0^{2}+0^{2}+(-1)^{2}}=1.
  • Como a norma é 1, esse vetor já é um vetor unitário. Logo podemos tomar
\mathbf{u}=(0,0,-1).

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de f (aqui explico cada regra que uso).
A função é combinação de produtos de potências; uso a regra do poder e a regra do produto quando necessário.
  1. Derivada parcial em relação a x, f_x: tratar y e z como constantes e derivar em x.
  • Para x^{3}y^{2}z^{5}: y^{2}z^{5} é constante, a derivada de x^{3} é 3x^{2}, portanto contribui 3x^{2}y^{2}z^{5}.
  • Para -2xz: derivada é -2z (pois para ax com a=-2z a derivada em x é a).
  • Para yz: não depende de x, derivada 0.
  • Para 3x: derivada 3.
    Somando:
f_x(x,y,z)=3x^{2}y^{2}z^{5}-2z+3.

Passo 5

Derivada parcial em relação a y, f_y: tratar x e z como constantes.
  • Para x^{3}y^{2}z^{5}: x^{3}z^{5} constante, derivada de y^{2} é 2y, portanto contribuição 2x^{3}y z^{5}.
  • Para -2xz: não depende de y, derivada 0.
  • Para yz: derivada é z.
  • Para 3x: derivada 0.
    Somando:
f_y(x,y,z)=2x^{3}y z^{5}+z.

Passo 6

Derivada parcial em relação a z, f_z: tratar x e y como constantes.
  • Para x^{3}y^{2}z^{5}: x^{3}y^{2} constante, derivada de z^{5} é 5z^{4}, contribuindo 5x^{3}y^{2}z^{4}.
  • Para -2xz: derivada é -2x.
  • Para yz: derivada é y.
  • Para 3x: derivada 0.
    Somando:
f_z(x,y,z)=5x^{3}y^{2}z^{4}-2x+y.

Passo 7

Avaliar as derivadas parciais no ponto P(-1,-2,1) (mostro as contas passo a passo).
Primeiro calcule termos comuns:
x=-1,\quad y=-2,\quad z=1.
Calcule f_x(P):
f_x(P)=3(-1)^{2}(-2)^{2}(1)^{5}-2(1)+3.
Agora as potências: (-1)^{2}=1, (-2)^{2}=4, 1^{5}=1. Substituindo:
f_x(P)=3\cdot1\cdot4\cdot1-2+3=12-2+3=13.
Calcule f_y(P):
f_y(P)=2(-1)^{3}(-2)(1)^{5}+1.
Aqui (-1)^{3}=-1, então 2\cdot(-1)\cdot(-2)=4. Somando +1
f_y(P)=4+1=5.
Calcule f_z(P):
f_z(P)=5(-1)^{3}(-2)^{2}(1)^{4}-2(-1)+(-2).
Avalie potências: (-1)^{3}=-1, (-2)^{2}=4, 1^{4}=1. Então 5\cdot(-1)\cdot4\cdot1=-20. Também -2(-1)=2. Somando:
f_z(P)=-20+2-2=-20.
Portanto
\nabla f(P)=(13,5,-20).

Passo 8

Calcular a derivada direcional usando o produto escalar com \mathbf{u}=(0,0,-1).
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}=(13,5,-20)\cdot(0,0,-1).
Produto escalar:
(13)\cdot0+(5)\cdot0+(-20)\cdot(-1)=0+0+20=20.

Passo 9

Interpretação final e cheque rápido: o valor positivo 20 significa que, movendo-se a partir de P um pouco no sentido negativo do eixo z (isto é, diminuindo z), a função aumenta a uma taxa de 20 unidades de f por unidade de deslocamento ao longo dessa direção. Conferência: o vetor direção era unitário, portanto não houve necessidade de normalização extra.

Resposta

20

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