Determine a derivada direcional da função
em
na direção e no sentido do eixo
negativo.
Passo 1
O enunciado fornece a função
, o ponto
e pede a derivada direcional no sentido do eixo
negativo.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- Função:
. - Ponto:
. - Direção: “eixo
negativo”, isto é a direção do vetor .
O que é pedido: a derivada direcional deem na direção e sentido do eixo negativo (um único número).
Passo 2
O que é a derivada direcional e como calculá-la na prática (aula rápida, sem pânico).
- A derivada direcional de
em um ponto na direção do vetor unitário mede a taxa de variação de quando nos movemos a partir de na direção . - Fórmula útil e prática:
onde
é o gradiente de
(o vetor das derivadas parciais) e
denota o produto escalar.
- Portanto, para calcular a derivada direcional: (i) calcular
, (ii) avaliar em , (iii) tomar o vetor unitário da direção pedida e (iv) fazer o produto escalar .
Passo 3
Determinar o vetor direção e verificar se precisa normalizar.
- A direção pedida é “eixo
negativo”, isto é o vetor . Escrevendo em TeX: . - Norme (comprimento) do vetor
:
- Como a norma é
, esse vetor já é um vetor unitário. Logo podemos tomar
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
(aqui explico cada regra que uso).
A função é combinação de produtos de potências; uso a regra do poder e a regra do produto quando necessário.
A função é combinação de produtos de potências; uso a regra do poder e a regra do produto quando necessário.
- Derivada parcial em relação a
, : tratar e como constantes e derivar em .
- Para
: é constante, a derivada de é , portanto contribui . - Para
: derivada é (pois para com a derivada em é ). - Para
: não depende de , derivada . - Para
: derivada .
Somando:
Passo 5
Derivada parcial em relação a
,
: tratar
e
como constantes.
- Para
: constante, derivada de é , portanto contribuição . - Para
: não depende de , derivada . - Para
: derivada é . - Para
: derivada .
Somando:
Passo 6
Derivada parcial em relação a
,
: tratar
e
como constantes.
- Para
: constante, derivada de é , contribuindo . - Para
: derivada é . - Para
: derivada é . - Para
: derivada .
Somando:
Passo 7
Avaliar as derivadas parciais no ponto
(mostro as contas passo a passo).
Primeiro calcule termos comuns:
Primeiro calcule termos comuns:
Calcule
:
Agora as potências:
,
,
. Substituindo:
Calcule
:
Aqui
, então
. Somando
dá
Calcule
:
Avalie potências:
,
,
. Então
. Também
. Somando:
Portanto
Passo 8
Calcular a derivada direcional usando o produto escalar com
.
Produto escalar:
Passo 9
Interpretação final e cheque rápido: o valor positivo
significa que, movendo-se a partir de
um pouco no sentido negativo do eixo
(isto é, diminuindo
), a função aumenta a uma taxa de
unidades de
por unidade de deslocamento ao longo dessa direção. Conferência: o vetor direção era unitário, portanto não houve necessidade de normalização extra.
Resposta
20