Obtenha a derivada direcional de
no ponto
na direção e no sentido do vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção e no sentido do vetor
. Pra isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais, gradiente e vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é derivada direcional. Ela mede a taxa de variação da função
em uma direção específica a partir de um ponto dado. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função e de um vetor unitário na direção desejada.
Passo 3
Vamos encontrar o gradiente de
. O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável:
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente no ponto
é:
Passo 4
Agora, vamos normalizar o vetor
para transformar ele em um vetor unitário. A fórmula para isso é:
Primeiro, calculamos a norma (ou comprimento) de
:
Então, o vetor unitário é:
Passo 5
Agora, a derivada direcional
é o produto escalar entre o gradiente de
e o vetor unitário
:
Substituindo os valores:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção e sentido de
é
.