Obtenha a derivada direcional de f(x, y)=-x^{2}+y no ponto (1,2) na direção e no sentido do vetor v=(2,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função f(x, y) = -x^{2} + y no ponto (1, 2) na direção e no sentido do vetor v = (2, 1). Pra isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais, gradiente e vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é derivada direcional. Ela mede a taxa de variação da função f em uma direção específica a partir de um ponto dado. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função e de um vetor unitário na direção desejada.

Passo 3

Vamos encontrar o gradiente de f(x, y). O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável:
\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)
Calculando as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x} = -2x \\\ \frac{\partial f}{\partial y} = 1
Então, o gradiente no ponto (1, 2) é:
\nabla f(1, 2) = (-2 \cdot 1, 1) = (-2, 1)

Passo 4

Agora, vamos normalizar o vetor v = (2, 1) para transformar ele em um vetor unitário. A fórmula para isso é:
\mathbf{u} = \frac{v}{\|v\|}
Primeiro, calculamos a norma (ou comprimento) de v:
\|v\| = \sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}
Então, o vetor unitário é:
\mathbf{u} = \left( \frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}} \right)

Passo 5

Agora, a derivada direcional D_{\mathbf{u}} f é o produto escalar entre o gradiente de f e o vetor unitário \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}
Substituindo os valores:
D_{\mathbf{u}} f = (-2, 1) \cdot \left( \frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = (-2) \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{-4 + 1}{\sqrt{5}} = \frac{-3}{\sqrt{5}}

Resposta

A derivada direcional de f no ponto (1, 2) na direção e sentido de v = (2, 1) é \displaystyle D_{\mathbf{u}} f = \frac{-3}{\sqrt{5}}.

Exercícios relacionados