Utilize o teste da Integral para se as séries convergen ou divergem
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para usarmos o Teste da Integral para determinar se a série
converge ou diverge. Esse teste é útil quando temos uma série composta por termos positivos que formam uma função contínua, decrescente e positiva. Vamos precisar configurar uma integral que corresponda a essa série e avaliar se ela converge ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função contínua associada à nossa série. A série é
, então a função correspondente será:
Essa função é contínua, positiva e decrescente para
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral imprópria correspondente à série:
Para resolver essa integral, podemos simplificar o denominador. Observamos que para
Sabemos que
é uma integral que diverge (ou seja, tende ao infinito).
Passo 4
Apesar dessa aproximação, vamos resolver a integral original para ter certeza:
Fazendo a substituição
Agora, avaliando de 1 até infinito:
À medida que
Resposta
Como a integral correspondente diverge, pelo Teste da Integral, a série
também diverge.