Utilize o teste da Integral para se as séries convergen ou divergem
(8 pts) sumn=1^infty n^2n^3+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para usarmos o Teste da Integral para determinar se a série sumn=1^infty n^2n^3+1 converge ou diverge. Esse teste é útil quando temos uma série composta por termos positivos que formam uma função contínua, decrescente e positiva. Vamos precisar configurar uma integral que corresponda a essa série e avaliar se ela converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função contínua associada à nossa série. A série é sumn=1^infty n^2n^3+1, então a função correspondente será:
f(x) = x^2x^3 + 1
Essa função é contínua, positiva e decrescente para x >= 1, que são as condições necessárias para aplicar o Teste da Integral.

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral imprópria correspondente à série:
integral1^infty x^2x^3 + 1 , dx
Para resolver essa integral, podemos simplificar o denominador. Observamos que para x grande, x^3 + 1 approx x^3, então:
x^2x^3 + 1 approx x^2x^3 = 1x
Sabemos que integral1^infty 1x , dx é uma integral que diverge (ou seja, tende ao infinito).

Passo 4

Apesar dessa aproximação, vamos resolver a integral original para ter certeza:
integral x^2x^3 + 1 , dx
Fazendo a substituição u = x^3 + 1, temos du = 3x^2 dx, ou seja, dx = du3x^2. Substituindo na integral:
integral x^2u cdot du3x^2 = 13 integral 1u , du = 13 ln|u| + C = 13 ln(x^3 + 1) + C
Agora, avaliando de 1 até infinito:
limb to infty [ 13 ln(b^3 + 1) - 13 ln(2) ] = limb to infty 13 ln(b^3 + 1) - 13 ln(2)
À medida que b tende ao infinito, ln(b^3 + 1) também tende ao infinito. Portanto, a integral diverge.

Resposta

Como a integral correspondente diverge, pelo Teste da Integral, a série sumn=1^infty n^2n^3+1 também diverge.

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