Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes:
integral0^1 integral-1^1|x+y| d x d y

Passo 1

A questão pede para esboçar a região de integração e calcular
integral0^1integral-1^1|x+y|,dx,dy
O conteúdo principal é a integração de uma função valor absoluto em um retângulo. Para resolver, vamos usar a ideia de quebrar a integral onde o argumento de |cdot| muda de sinal, isto é onde x+y=0.

Passo 2

A região de integração é o retângulo com vértices em (-1,0), (1,0), (1,1), (-1,1). A reta x+y=0 intersecta esse retângulo do ponto (0,0) até (-1,1). Esboçando, temos o retângulo e dentro dele a linha x=-y dividindo as partes onde x+y é negativo e positivo.

Passo 3

Para cada valor fixo de yin[0,1], a integral interna em x decompõe-se em duas partes, pois
|x+y|=-(x+y),&x<-y,x+y,&x>-y
Então
integral-1^1|x+y|,dx = integral-1^-y-(x+y),dx + integral-y^1(x+y),dx

Passo 4

Usamos a antiderivada comum de x+y:
integral(x+y),dx = tfrac12x^2 + yx
Calculando cada parte:
Para a primeira,
-integral-1^-y(x+y),dx = -l[tfrac12x^2 + yxr]x=-1^-y = tfrac12y^2 + tfrac12 - y
Para a segunda,
integral-y^1(x+y),dx = l[tfrac12x^2 + yxr]x=-y^1 = tfrac12y^2 + y + tfrac12

Passo 5

Somando as duas partes obtemos para cada y
integral-1^1|x+y|,dx = y^2 + 1
Agora integramos em y:
integral0^1(y^2+1),dy = l[tfrac13y^3 + yr]0^1 = tfrac13 + 1 = tfrac43

Resposta

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