Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes:
Passo 1
A questão pede para esboçar a região de integração e calcular
O conteúdo principal é a integração de uma função valor absoluto em um retângulo. Para resolver, vamos usar a ideia de quebrar a integral onde o argumento de
muda de sinal, isto é onde
.
Passo 2
A região de integração é o retângulo com vértices em
. A reta
intersecta esse retângulo do ponto
até
. Esboçando, temos o retângulo e dentro dele a linha
dividindo as partes onde
é negativo e positivo.
Passo 3
Para cada valor fixo de
, a integral interna em
decompõe-se em duas partes, pois
Então
Passo 4
Usamos a antiderivada comum de
:
Calculando cada parte:
Para a primeira,
Para a primeira,
Para a segunda,
Passo 5
Somando as duas partes obtemos para cada
Agora integramos em
: