Calcule a integral tripla integral triplaT raizx^2+y^2 d V onde T é o sólido delimitado pelo cilindro x^2+y^2=1, pelo plano z=0 e pelo parabolóide z=4-x^2-y^2.
Forneça uma expressão para I em coordenadas esféricas (não precisa calcular.).

Passo 1

O enunciado pede para escrever a integral tripla
I=integral triplaTraizx^2+y^2,dV
sobre o sólido T limitado por
• o cilindro x^2+y^2=1,
• o plano z=0 (ou seja, z>=0) e
• o parabolóide z=4-x^2-y^2,
sem calcular, mas em coordenadas esféricas.

Passo 2

Para passar para coordenadas esféricas usamos
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
e o elemento de volume
dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta,
além de
raizx^2+y^2=rhosinphi

Passo 3

As variáveis angulares ficam
0<=theta<=2pi, 0<=phi<=tfracpi2
porque z>=0. Para rho o sólido pára quando ou atingimos o cilindro
rhosinphi=1 ou o parabolóide
rhocosphi=4-rho^2sin^2phi.

Passo 4

Da segunda condição derivamos a raiz positiva
rhopar(phi) =-cosphi+raizcos^2phi+16sin^2phi2sin^2phi
Chamando rhocil(phi)=1/sinphi,
o limite superior em rho é
rhomax(phi)=minl(rhocil(phi),rhopar(phi)r)

Passo 5

Juntando tudo, a integral em esféricas vira
I=integral0^2pi!integral0^pi2!integral0^rhomax(phi) (rhosinphi),rho^2sinphi;drho,dphi,dtheta =integral0^2pi!integral0^pi2!integral0^rhomax(phi) rho^3sin^2phi;drho,dphi,dtheta

Passo 6

Alternativamente podemos dividir em duas faixas de phi, pois
rhocil=rhopar em phi^*=arctan(1/3).

Resposta

I=\int_{0}{2\pi}!\Bigl[\int_{0}{\arctan(1/3)}!\int_{0}{\frac{-\cos\phi+\sqrt{\cos{2}\phi+16\sin{2}\phi}}{2\sin{2}\phi}}\n\rho{3}\sin{2}\phi;d\rho,d\phi
+\int_{\arctan(1/3)}{\frac{\pi}{2}}!\int_{0}{\frac{1}{\sin\phi}}\n\rho{3}\sin{2}\phi;d\rho,d\phi\Bigr]d\theta

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