Calcule a integral tripla
onde
é o sólido delimitado pelo cilindro
, pelo plano
e pelo parabolóide
.
Forneça uma expressão para
em coordenadas esféricas (não precisa calcular.).
Forneça uma expressão para
Passo 1
O enunciado pede para escrever a integral tripla
sobre o sólido limitado por
• o cilindro ,
• o plano (ou seja,
) e
• o parabolóide ,
sem calcular, mas em coordenadas esféricas.
sobre o sólido
• o cilindro
• o plano
• o parabolóide
sem calcular, mas em coordenadas esféricas.
Passo 2
Para passar para coordenadas esféricas usamos
e o elemento de volume
além de
Passo 3
As variáveis angulares ficam
porque
Passo 4
Da segunda condição derivamos a raiz positiva
Chamando
,
o limite superior em é
o limite superior em
Passo 5
Juntando tudo, a integral em esféricas vira
Passo 6
Alternativamente podemos dividir em duas faixas de
, pois
em
.
Resposta
I=\int_{0}{2\pi}!\Bigl[\int_{0}{\arctan(1/3)}!\int_{0}{\frac{-\cos\phi+\sqrt{\cos{2}\phi+16\sin{2}\phi}}{2\sin{2}\phi}}\n\rho{3}\sin{2}\phi;d\rho,d\phi
+\int_{\arctan(1/3)}{\frac{\pi}{2}}!\int_{0}{\frac{1}{\sin\phi}}\n\rho{3}\sin{2}\phi;d\rho,d\phi\Bigr]d\theta
+\int_{\arctan(1/3)}{\frac{\pi}{2}}!\int_{0}{\frac{1}{\sin\phi}}\n\rho{3}\sin{2}\phi;d\rho,d\phi\Bigr]d\theta