Calcule a integral tripla integral triplaT raizx^2+y^2 d V onde T é o sólido delimitado pelo cilindro x^2+y^2=1, pelo plano z=0 e pelo parabolóide z=4-x^2-y^2.
Forneça uma expressão para I em coordenadas cilíndricas (não precisa calcular.)

Passo 1

Resumindo a questão: queremos escrever em coordenadas cilíndricas a integral tripla
I=integral triplaTraizx^2+y^2,dV
onde o corpo T é limitado pelo cilindro x^2+y^2=1, pelo plano z=0 e pelo paraboloide z=4 - x^2 - y^2. Vamos usar coordenadas cilíndricas (r,theta,z).

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z, dV = r,dr,dtheta,dz
Além disso, raizx^2+y^2 = r.

Passo 3

Agora descrevemos o domínio em cilíndricas: r varia de 0 a 1 (dentro do cilindro), theta de 0 a 2pi, e z de 0 até o paraboloide z=4 - r^2.

Passo 4

Substituindo integrando e jacobiano, o integrando raizx^2+y^2,dV vira rcdot r,dr,dtheta,dz = r^2,dr,dtheta,dz.

Resposta

I = integraltheta=0^2piintegralr=0^1integralz=0^4 - r^2 r^2,dz,dr,dtheta

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