Calcule a integral tripla.
integral triplaz sen y d V, onde E está abaixo do plano z=x e acima da regiào triangular com vértices (0,0,0),(pi, 0,0) e (0, pi, 0)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral triplaE sin y ,dV,
onde E é o sólido limitado por baixo pelo plano z=0 sobre a região triangular no plano xy com vértices (0,0), (pi,0) e (0,pi), e por cima pelo plano z=x. Vamos usar integração iterada em coordenadas cartesianas (Teorema de Fubini).

Passo 2

O triângulo de base no plano xy é
D=(x,y)mid 0<= x<= pi,;0<= y<= pi - x
Em cada ponto (x,y)in D, a coordenada z varia de 0 até x. Logo
integral triplaEsin y,dV =integralx=0^piintegraly=0^pi-xintegralz=0^xsin y,dz,dy,dx

Passo 3

Como sin y independe de z, fazemos primeiro
integralz=0^xsin y,dz =sin y;l[zr]0^x =x,sin y
Então a integral vira
integralx=0^piintegraly=0^pi-xx,sin y,dy,dx

Passo 4

Integramos em y:
integraly=0^pi-xsin y,dy =l[-cos yr]0^pi-x =-cos(pi - x)+cos 0 =cos x +1
Logo ficamos com
integral0^pixl(cos x+1r),dx =integral0^pixcos x,dx+integral0^pix,dx

Passo 5

Calculamos as duas integrais em x:
1.
integral0^pi x , dx = pi^22
2. Por partes, com u = x, dv = cos x , dx:
integral0^pi x cos x , dx = l[ x sin x r]0^pi - integral0^pi sin x , dx = 0 - l[ -cos x r]0^pi = -l( -(-1) + 1 r) = -2
Somando, o valor da integral tripla é
pi^22 - 2

Resposta

pi^22-2

Exercícios relacionados