Determine d yd x usando derivação implícita:
y=x^2 e^-x;

Passo 1

O enunciado nos dá a relação explícita
y = x^2e^-x
e pede dydx usando derivação implícita. Para isso, vamos definir
F(x,y) = y - x^2e^-x
e impor F(x,y)=0, de modo que ao derivar ambos os lados em relação a x obtenhamos dydx.

Passo 2

Derivamos F(x,y)=0 implicitamente em relação a x. Como F(x,y)=y - x^2e^-x, temos
ddxF(x,y) = ddxl(yr) ;-;ddxl(x^2e^-xr) = 0
ou seja
dydx - ddxl(x^2e^-xr) = 0

Passo 3

Agora calculamos ddxl(x^2e^-xr) pelo produto e pela cadeia. Seja
u(x)=x^2, v(x)=e^-x
Então
ddxl(u,vr)=u',v + u,v'
Aqui u' = 2x e v' = e^-xcdot(-1) = -e^-x. Logo
ddxl(x^2e^-xr) = 2x,e^-x + x^2,(-e^-x) = 2x,e^-x - x^2e^-x

Passo 4

Substituindo na derivada implícita
dydx - l(2x,e^-x - x^2e^-xr) = 0
logo
dydx = 2x,e^-x - x^2e^-x
Fatorando e^-x, fica
dydx = e^-x,(2x - x^2)

Resposta

dydx = e^-x,(2x - x^2)

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