Determine d yd x usando derivação implícita:
(1-2 x y^3)^5=x+4 y;

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos dydx a partir da equação implícita
l(1 - 2xy^3r)^5 = x + 4y
Aqui vamos usar diferenciação implícita, que exige a regra do produto (para x,y^3) e a regra da cadeia (para elevar à quinta potência).

Passo 2

Vamos derivar os dois lados em relação a x. Do lado esquerdo, sendo
u = 1 - 2x y^3,
temos l(ur)^5, cuja derivada é
5,u^4,dudx
Agora
dudx = ddxl(1r) - 2,ddxl(x,y^3r) = 0 - 2l(xcdot ddx(y^3) + y^3cdotddx(x)r)
Pela regra da potência e da cadeia, ddx(y^3) = 3y^2y', e ddx(x)=1. Logo
dudx = -2l(xcdot 3y^2y' + y^3r) = -2l(3x y^2y' + y^3r)
Portanto a derivada do lado esquerdo é
5l(1 - 2x y^3r)^4,l[-2,(3x y^2y' + y^3)r]
No lado direito, derivando x + 4y em relação a x, obtemos
1 + 4y'

Passo 3

Juntando as derivadas, ficamos com
5l(1 - 2x y^3r)^4,l[-2,(3x y^2y' + y^3)r] = 1 + 4y'
Multiplicando 5 por -2:
-10,(1 - 2x y^3)^4,(3x y^2y' + y^3) = 1 + 4y'
Agora distribuímos dentro do parêntese:
-10,(1 - 2x y^3)^4,3x y^2y' ;-; 10,(1 - 2x y^3)^4,y^3 = 1 + 4y'
Ou seja,
-30,x y^2,(1 - 2x y^3)^4,y' ;-;10,y^3,(1 - 2x y^3)^4 = 1 + 4y'

Passo 4

Vamos isolar todos os termos com y' num lado. Transpondo -10,y^3(1 - 2x y^3)^4 para o outro lado e também agrupando o 4y':
-30,x y^2,(1 - 2x y^3)^4,y' ;-;4y' = 1 + 10,y^3,(1 - 2x y^3)^4
Fatorando y' no lado esquerdo:
y',l[-30,x y^2,(1 - 2x y^3)^4 - 4r] = 1 + 10,y^3,(1 - 2x y^3)^4

Passo 5

Basta agora dividir ambos os lados pelo fator que multiplica y':
y' = 1 + 10,y^3,(1 - 2x y^3)^4 -30,x y^2,(1 - 2x y^3)^4 - 4
Se quiser, pode multiplicar numerador e denominador por -1 para retirar o sinal de menos no denominador:
y' = -1 - 10,y^3,(1 - 2x y^3)^4 30,x y^2,(1 - 2x y^3)^4 + 4

Resposta

dydx = 1 + 10,y^3,(1 - 2x y^3)^4 -30,x y^2,(1 - 2x y^3)^4 - 4

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