Calcule a integral tripla:
integralegral triplaD x y d x d y d z, onde D é o tetraedro sólido com vértices (0,0,0),(1,0,0),(0,2,0) e (0,0,3).

Passo 1

A questão pede para calcular a integral tripla integral triplaD x,y,dx,dy,dz, onde D é o tetraedro com vértices (0,0,0), (1,0,0), (0,2,0) e (0,0,3). O conteúdo envolvido é integrais múltiplas sobre regiões definidas por planos, e vamos precisar da equação do plano que forma a face do tetraedro e de escolher uma ordem de integração adequada.

Passo 2

Precisamos primeiro obter a equação do plano que passa pelos pontos (1,0,0), (0,2,0) e (0,0,3). Na forma de interceptos, temos:
x1+y2+z3=1
Isso define a fronteira superior de D junto com os planos coordenados.

Passo 3

Escolhemos integrar na ordem dz,dy,dx. Para um x fixo entre 0 e 1, y varia de 0 até o ponto em que z=0 no plano, ou seja x+tfracy2=1, logo
0<= y<= 2(1-x),
e para cada (x,y) fixo, z vai de 0 até o valor dado pelo plano:
0<= z<= 3l(1 - x - tfrac y2r)

Passo 4

Agora a integral fica
integralx=0^1integraly=0^2(1-x)integralz=0^3(1 - x - y/2) x,y,dz,dy,dx
Integrando em z primeiro:
integral0^3(1 - x - y/2) x,y,dz = x,y cdot 3l(1 - x - tfrac y2r)
Então a integral reduz-se a
integral0^1integral0^2(1-x) 3x yl(1 - x - tfrac y2r) dy,dx
Expandindo e integrando em y de 0 a 2(1-x), obtemos, após simplificação,
integral0^1 2x(1 - x)^3,dx
Por fim, calculamos essa integral em x:
integral0^1 2x(1 - x)^3 dx = tfrac110

Resposta

1/10

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