Calcule a integral tripla:
, onde
é o tetraedro sólido com vértices
e
.
Passo 1
A questão pede para calcular a integral tripla
, onde
é o tetraedro com vértices
,
,
e
. O conteúdo envolvido é integrais múltiplas sobre regiões definidas por planos, e vamos precisar da equação do plano que forma a face do tetraedro e de escolher uma ordem de integração adequada.
Passo 2
Precisamos primeiro obter a equação do plano que passa pelos pontos
,
e
. Na forma de interceptos, temos:
Isso define a fronteira superior de
Passo 3
Escolhemos integrar na ordem
. Para um
fixo entre 0 e 1,
varia de 0 até o ponto em que
no plano, ou seja
, logo
e para cada
fixo,
vai de 0 até o valor dado pelo plano:
Passo 4
Agora a integral fica
Integrando em
Então a integral reduz-se a
Expandindo e integrando em
Por fim, calculamos essa integral em
: