Calcule a massa do sólido E=(x, y, z): x^2+y^2+z^2 <= b^2, z >= a>0, com a e de.

Passo 1

O enunciado pede a massa do sólido
E=(x,y,z):x^2+y^2+z^2<= b^2, z>= a>0 com densidade de. Vamos usar integração tripla em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas (r,theta,z) temos dV=r,dr,dtheta,dz e o sólido é descrito por
0<=theta<=2pi, a<= z<= b, 0<= r<=raizb^2-z^2
Assim a massa é
M=integral0^2piintegrala^bintegral0^raizb^2-z^2z,r,dr,dz,dtheta

Passo 3

Primeiro integramos em r:
integral0^raizb^2-z^2z,r,dr = zcdot12(b^2-z^2)

Passo 4

Agora integramos em z e theta:
M=2piintegrala^bz2(b^2-z^2),dz =piintegrala^b(b^2z - z^3),dz =pil[b^2z^22-z^44r]a^b

Passo 5

Avaliando em z=b e z=a e subtraindo, obtemos
M=pil(b^44-b^2a^22+a^44r) =pi4(b^2-a^2)^2

Resposta

pi4(b^2 - a^2)^2

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