Calcule a integral tripla:
integralegral triplaD y d x d y d z, onde D é a região abaixo do plano z=x+2 y e acima da região no plano x y limitada pelas curvas y=x^2, y=0 e x=1.

Passo 1

O enunciado nos pede calcular a integral tripla integral triplaD y,dx,dy,dz, onde D é a região limitada acima pelo plano z= x+2y e abaixo da região no plano xy limitada pelas curvas y=x^2, y=0 e x=1. O conteúdo é cálculo de integrais múltiplas em coordenadas cartesianes e precisaremos definir corretamente os limites de integração em x, y e z.

Passo 2

A projeção de D no plano xy é a região B delimitada por 0<= x<=1 e entre y=0 e y=x^2. Logo
B=(x,y):0<= x<=1,,0<= y<= x^2,
Para cada ponto (x,y)in B, z varia de 0 (plano xy) até z=x+2y. Assim a integral iterada fica:
integral triplaDy,dV=integralx=0^1integraly=0^x^2integralz=0^x+2yy,dz,dy,dx

Passo 3

Calculando a integral interna em z:
integralz=0^x+2yy,dz=yl[zr]0^x+2y=y(x+2y)
Substituindo e integrando em y:
integraly=0^x^2l(xy+2y^2r)dy =xy^22|0^x^2+2y^33|0^x^2=x^52+2x^63

Passo 4

Finalmente, integramos em x:
integral0^1l(x^52+2x^63r)dx=12cdot16+23cdot17=112+221=528

Resposta

dfrac528

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