Calcule a integral tripla:
integralegral triplaD y z d x d y d z, onde D=(x, y, z): 0 <= z <= 1,0 <= y <= 2 z, 0 <= x <= z+2.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla integral triplaD y z ,dx,dy,dz sobre o domínio
D = { (x,y,z) | 0 ≤ z ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2z, 0 ≤ x ≤ z+2 }.
O conteúdo aqui é integração múltipla e iterada: vamos integrar primeiro em x, depois em y e por fim em z.

Passo 2

Percebendo que o integrando y z não depende de x, fazemos a integral em x primeiro. Temos:
integral0^z+2 y z ,dx = y z integral0^z+2 dx = y z (z+2)
Assim a integral original vira
integralz=0^1 integraly=0^2z y z (z+2) ,dy,dz

Passo 3

Agora integramos em y. Como z e (z+2) são constantes em relação a y,
integral0^2z y z (z+2) ,dy = z (z+2) integral0^2z y ,dy = z(z+2) cdot (2z)^22 = 2z^3 (z+2)
Portanto a integral reduz a
integral0^1 l(2z^4 + 4z^3r) ,dz

Passo 4

Por fim, integramos em z:
integral0^1 (2z^4 + 4z^3) ,dz = 2 cdot 1^55 + 4 cdot 1^44 = 25 + 1 = 75

Passo 5

Logo, o valor da integral tripla é 75.

Resposta

tfrac75

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