Calcule a integral tripla:
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral tripla
sobre o domínio
D = { (x,y,z) | 0 ≤ z ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2z, 0 ≤ x ≤ z+2 }.
O conteúdo aqui é integração múltipla e iterada: vamos integrar primeiro em x, depois em y e por fim em z.
D = { (x,y,z) | 0 ≤ z ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2z, 0 ≤ x ≤ z+2 }.
O conteúdo aqui é integração múltipla e iterada: vamos integrar primeiro em x, depois em y e por fim em z.
Passo 2
Percebendo que o integrando
não depende de x, fazemos a integral em x primeiro. Temos:
Assim a integral original vira
Passo 3
Agora integramos em y. Como z e (z+2) são constantes em relação a y,
Portanto a integral reduz a
Passo 4
Por fim, integramos em z:
Passo 5
Logo, o valor da integral tripla é
.