Calcule a integral tripla iterada.
integral1^2 integral-2^4 integral0^1 z e^y+x d x d z d y

Passo 1

Beleza, vamos calcular essa integral tripla integral1^2 integral-2^4 integral0^1 z e^y+x , dx , dz , dy. Estamos lidando com cálculo integral multivariável, mais especificamente com integrais tripas iteradas. Para resolver isso, vamos precisar integrar uma função que depende de três variáveis ( x, y e z) em ordem, ou seja, uma de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integração em relação a x, mantendo y e z constantes. A função que vamos integrar é z e^y+x.

Passo 3

Integrando em relação a x:
integral0^1 z e^y+x , dx
Como z e e^y são constantes em relação a x, podemos tirar eles da integral:
z e^y integral0^1 e^x , dx
A integral de e^x em relação a x é e^x, então:
z e^y [ e^x ]0^1 = z e^y (e^1 - e^0) = z e^y (e - 1)

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da primeira integração na integral restante:
integral1^2 integral-2^4 z e^y (e - 1) , dz , dy
Podemos tirar e - 1 da integral, já que é uma constante:
(e - 1) integral1^2 integral-2^4 z e^y , dz , dy

Passo 5

Vamos integrar agora em relação a z:
integral-2^4 z , dz
A integral de z em relação a z é 12 z^2, então:
12 z^2 g|-2^4 = 12 (4^2 - (-2)^2) = 12 (16 - 4) = 12 times 12 = 6

Passo 6

Substituindo esse resultado na integral restante:
(e - 1) times 6 integral1^2 e^y , dy = 6(e - 1) integral1^2 e^y , dy

Passo 7

Agora, integramos em relação a y:
integral1^2 e^y , dy = e^y g|1^2 = e^2 - e^1 = e^2 - e

Resposta

Finalmente, multiplicando tudo:
6(e - 1)(e^2 - e) = 6e^3 - 12e^2 + 6e
Então, o valor da integral tripla é 6e^3 - 12e^2 + 6e.

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