Encontre o limite, se existir. (Sem usar LHospital).
lim x 16 sen(4-raizx)16-x, lim x +infty(raizx^2+1-raizx^4+1)

Passo 1

Vamos resolver dois limites: o primeiro é do tipo $0/0$ envolvendo senos, e o segundo é do tipo $∞−∞$ envolvendo raízes. Vamos precisar usar a aproximação de Taylor para senos em ângulos pequenos, a fatoração de diferença de quadrados e o truque de multiplicar pelo conjugado quando aparecer diferença de raízes.

Passo 2

Para o limite
limxto16sin(4-raizx)16-x,
fazemos h=raizx. Quando xto16, hto4 e 4-raizx=4-hto0. Note que
16-x=16-h^2=(4-h)(4+h)
Assim
sin(4-raizx)16-x= sin(4-h)(4-h)(4+h)
Para θ=4-h pequeno, usamos sin θsim θ. Logo
sin(4-h)(4-h)(4+h) sim 4-h(4-h)(4+h) =14+h
e, mandando hto4, obtemos 1/(4+4)=1/8.

Passo 3

Para o limite
limxto+inftyl(raizx^2+1-raizx^4+1r),
a expressão é do tipo ∞−∞. Multiplicamos pelo conjugado:
raizx^2+1-raizx^4+1 =(x^2+1)-(x^4+1)raizx^2+1+raizx^4+1 =-x^4+x^2raizx^2+1+raizx^4+1 =-x^2(x^2-1)raizx^2+1+raizx^4+1
No denominador, para xto∞, ambas as raízes crescem como potências de x, mais precisamente
raizx^2+1sim x e raizx^4+1sim x^2, então o denominador cresce como x^2. Já o numerador tem termo dominante -x^4. Portanto a fração tende a
-∞.

Resposta

1/8 e -infty

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