Encontre o limite, se existir. (Sem usar LHospital).
Passo 1
Vamos resolver dois limites: o primeiro é do tipo $0/0$ envolvendo senos, e o segundo é do tipo $∞−∞$ envolvendo raízes. Vamos precisar usar a aproximação de Taylor para senos em ângulos pequenos, a fatoração de diferença de quadrados e o truque de multiplicar pelo conjugado quando aparecer diferença de raízes.
Passo 2
Para o limite
fazemos
. Quando
,
e
. Note que
Assim
Para
pequeno, usamos
. Logo
e, mandando
, obtemos
.
Passo 3
Para o limite
a expressão é do tipo
. Multiplicamos pelo conjugado:
No denominador, para
, ambas as raízes crescem como potências de
, mais precisamente
e
, então o denominador cresce como
. Já o numerador tem termo dominante
. Portanto a fração tende a
.