Encontre o limite, se existir. (Sem usar LHospital).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de limites juntos! O enunciado pede para encontrarmos dois limites diferentes sem usar a regra de L’Hospital. Para isso, vamos precisar entender conceitos de funções trigonométricas, limites no infinito e manipulação de expressões com raízes quadradas.
Passo 2
Vamos começar com o primeiro limite:
Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos $ x = -2 $ diretamente na expressão.
Passo 3
Substituindo $ x = -2 $:
Então, a função no numerador fica $ \sin(0) = 0 $.
No denominador:
Então, temos uma forma indeterminada do tipo $ \frac{0}{0} $, o que significa que precisamos simplificar a expressão.
Passo 4
Vamos reescrever o denominador:
Então, a expressão original fica:
Agora, podemos usar a identidade:
Para isso, fazemos uma substituição: seja $ y = 5(x + 2) $. Quando $ x \to -2 $, $ y \to 0 $.
Passo 5
A expressão se transforma em:
Aplicando o limite conhecido:
Portanto:
Passo 6
Agora, vamos resolver o segundo limite:
Para simplificar essa expressão, vamos multiplicar e dividir pelo conjugado para eliminar a raiz quadrada.
Passo 7
Multiplicando pelo conjugado:
Agora, vamos simplificar a expressão.
Passo 8
Dividindo numerador e denominador por $ \sqrt{x} $:
Agora, observamos que quando $ x \to +\infty $, $ \frac{1}{\sqrt{x}} \to 0 $.
Passo 9
Portanto: