Determine, se existirem, as assíntotas horizontais e verticais da função
f(x)=x^2-raiz3raizx^2-9

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar as assíntotas horizontais e verticais da função $ f(x) = \frac{x^{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{x^{2} - 9}} $. Para isso, vamos usar conceitos de análise de funções, especificamente sobre como identificar assíntotas em funções racionais que envolvem raízes quadradas. Precisamos entender onde a função pode se comportar de maneira assintótica, ou seja, onde ela se aproxima de uma linha sem nunca tocá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas ocorrem nos pontos onde o denominador da função é zero, mas o numerador não é zero nesse mesmo ponto. Isso indica que a função tende ao infinito nesses pontos.
O denominador da nossa função é $ \sqrt{x^{2} - 9} $. Vamos igualar a expressão dentro da raiz a zero para encontrar os valores críticos:
raizx^2 - 9
Portanto, os possíveis candidatos a assíntotas verticais são $ x = 3 $ e $ x = -3 $. Agora, precisamos verificar se o numerador não é zero nesses pontos:
Para $ x = 3 $:
x^2 - 9 = 0 implies x^2 = 9 implies x = pm 3
Para $ x = -3 $:
x = 3
Como o numerador não é zero em $ x = 3 $ e $ x = -3 $, concluímos que existem assíntotas verticais em $ x = 3 $ e $ x = -3 $.

Passo 3

Agora, vamos procurar as assíntotas horizontais, que são os valores que a função se aproxima quando $ x $ tende ao infinito positivo ou negativo.
Para encontrar isso, analisamos o limite de $ f(x) $ quando $ x $ tende a $ +\infty $ e a $ -\infty $:
x
Podemos simplificar dividindo o numerador e o denominador pelo termo de maior grau, que é $ x^{2} $:
f(x)
x
No entanto, como a raiz quadrada no denominador está relacionada a $ |x| $, na verdade:
+infty
O mesmo acontece quando $ x $ tende a $ -\infty $:
-infty
Isso mostra que a função não se aproxima de nenhum valor finito quando $ x $ tende a $ \pm\infty $, ou seja, não há assíntotas horizontais.

Resposta

A função possui assíntotas verticais em $ x = 3 $ e $ x = -3 $ e não possui assíntotas horizontais.

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