Calcule a integral tripla
Onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral tripla da função
sobre a região
. Isso envolve calcular integrais em três variáveis:
,
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como dividir a integral tripla em integrais simples e resolver passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa integral tripla. A região
está definida nos intervalos de
,
e
:
-
varia de a -
varia de a -
varia de a
A integral tripla pode ser escrita como uma sequência de integrais simples. Ou seja:
Passo 3
Vamos resolver essa integral passo a passo. Note que podemos separar as variáveis porque a função está multiplicada por funções de variáveis distintas. Além disso,
é uma constante que pode ser fatorada para fora da integral.
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente. Começando pela integral em
:
Expandindo
:
Então:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Então, a integral em
é:
Passo 5
Agora, a integral em
:
Como
não está especificada, deixamos essa integral como está:
Passo 6
Por fim, a integral em
:
Vamos usar uma substituição para simplificar. Seja
, então
, ou seja,
.
Mudando os limites:
- Quando
, - Quando
,
Então, a integral se torna:
Resposta
Multiplicando todas as partes que calculamos, a integral tripla é:
Portanto, a resposta final é: