Calcule a integral tripla integral triplaR(x-1)^2 z^2 e^z^3 t g(y) d V Onde R=[-1,2] times[0, pi / 4] times[1,2].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral tripla da função (x-1)^2 z^2 e^z^3 t g(y) sobre a região R = [-1,2] times [0, pi / 4] times [1,2]. Isso envolve calcular integrais em três variáveis: x, y e z. Para resolver isso, vamos precisar entender como dividir a integral tripla em integrais simples e resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa integral tripla. A região R está definida nos intervalos de x, y e z:
  • x varia de -1 a 2
  • y varia de 0 a pi/4
  • z varia de 1 a 2
A integral tripla pode ser escrita como uma sequência de integrais simples. Ou seja:
integral triplaR (x-1)^2 z^2 e^z^3 t g(y) , dV = integralx=-1^2 integraly=0^pi/4 integralz=1^2 (x-1)^2 z^2 e^z^3 t g(y) , dz , dy , dx

Passo 3

Vamos resolver essa integral passo a passo. Note que podemos separar as variáveis porque a função está multiplicada por funções de variáveis distintas. Além disso, t é uma constante que pode ser fatorada para fora da integral.
Então, a integral fica:
t integralx=-1^2 (x-1)^2 dx times integraly=0^pi/4 g(y) dy times integralz=1^2 z^2 e^z^3 dz

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente. Começando pela integral em x:
integral-1^2 (x-1)^2 dx
Expandindo (x-1)^2:
(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1
Então:
integral-1^2 (x^2 - 2x + 1) dx = [ x^33 - x^2 + x ]-1^2
Calculando nos limites:
Para x=2:
83 - 4 + 2 = 83 - 2 = 23
Para x=-1:
-13 - 1 + (-1) = -13 - 2 = -73
Então, a integral em x é:
23 - ( -73 ) = 93 = 3

Passo 5

Agora, a integral em y:
integral0^pi/4 g(y) dy
Como g(y) não está especificada, deixamos essa integral como está:
integral0^pi/4 g(y) dy

Passo 6

Por fim, a integral em z:
integral1^2 z^2 e^z^3 dz
Vamos usar uma substituição para simplificar. Seja u = z^3, então du = 3z^2 dz, ou seja, z^2 dz = du3.
Mudando os limites:
  • Quando z=1, u=1^3=1
  • Quando z=2, u=2^3=8
Então, a integral se torna:
integral1^8 e^u cdot 13 du = 13 integral1^8 e^u du = 13 [ e^u ]1^8 = 13 (e^8 - e^1) = e^8 - e3

Resposta

Multiplicando todas as partes que calculamos, a integral tripla é:
t times 3 times ( integral0^pi/4 g(y) dy ) times e^8 - e3 = t (e^8 - e) integral0^pi/4 g(y) dy
Portanto, a resposta final é:
t (e^8 - e) integral0^pi/4 g(y) dy

Exercícios relacionados