Determine as derivadas panciais das funceés: mu=x+2 yy+2 z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais da função . Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente das derivadas parciais. Para isso, vamos precisar lembrar como derivar funções de várias variáveis em relação a cada uma delas individualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que a gente denota por . Como aparece somente no numerador, a derivada vai ser simples. Trata-se de derivar em relação a , mantendo e constantes.

Passo 3

Agora, vamos calcular essa derivada. A expressão pode ser vista como , onde e . Derivando em relação a temos , e não depende de , então sua derivada em relação a é zero.

Passo 4

Assim, aplicando a regra da derivada de uma razão, a derivada parcial de partial mupartial x = 1 cdot (y + 2z) - (x + 2y) cdot 0(y + 2z)^2 = y + 2z(y + 2z)^2 = 1y + 2z em relação a é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Dessa vez, tanto o numerador quanto o denominador dependem de , então precisamos usar a regra do quociente para derivar.

Passo 6

Aplicando a regra do quociente para partial mupartial y = (2)(y + 2z) - (x + 2y)(1)(y + 2z)^2 , temos:
2y + 4z - x - 2y = 4z - x
Simplificando o numerador:
partial mupartial y = 4z - x(y + 2z)^2
Portanto:

Passo 7

Finalmente, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , . Novamente, tanto o numerador quanto o denominador dependem de , então usamos a regra do quociente.

Passo 8

Derivando partial mupartial z = 0 cdot (y + 2z) - (x + 2y)(2)(y + 2z)^2 em relação a 0 - 2(x + 2y) = -2x - 4y , temos:
partial mupartial z = -2x - 4y(y + 2z)^2
Simplificando o numerador:
Portanto:

Resposta

As derivadas parciais da função partial mupartial x = 1y + 2z, partial mupartial y = 4z - x(y + 2z)^2, partial mupartial z = -2x - 4y(y + 2z)^2 são:

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