Exercício 9. É bem conhecido o corte
pelo fato de não ser um corte do tipo
. Mostre que vale a igualdade de conjuntos
Passo 1
O enunciado dá a definição do corte
onde, por definição padrão, para
o corte
é
Pede-se para mostrar a igualdade de conjuntos
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
é o conjunto de racionais cuja quadrado é menor que , junto com para garantir que números negativos também apareçam. -
é o conjunto de racionais menores que . - É preciso comparar dois cortes construídos como produto (produto de cortes na construção dos reais por cortes de Dedekind).
Passo 2
Vou recordar e explicar a definição que vou usar do produto de cortes (isso é fundamental para entender os passos seguintes).
Definição (produto de cortes positivos). Seja
e
cortes em
. O produto
é o conjunto de todos os racionais
tais que uma das duas condições vale:
Explicando cada parte:
- A condição
garante que todos os racionais não positivos estão no produto (isso é compatível com a construção usual dos cortes). - A segunda condição diz que um racional positivo
pertence ao produto sempre que existe um par de elementos positivos e cujo produto é maior que . Note que usamos (estrito) para facilitar separação e existência.
Observação didática: para provar igualdade de conjuntos é suficiente provar duas inclusões:
e
.
Passo 3
Estratégia:
- Provar que todo elemento do produto
é menor que , isto é . - Provar que todo racional menor que
pertence ao produto, isto é .
Vou tratar separadamente casos
e
quando necessário, e usar duas propriedades simples que vou justificar:
- Se
e então . - Se
então (monotonicidade da função em ).
Também vou usar que os racionais são densos nos reais: entre dois reais distintos existe um racional. (Isto garante que, para, existe racional com .)
Passo 4
Prova da inclusão
.
Seja
. Dois casos:
-
Se
, então claramente , logo . -
Se
, então pela definição do produto existe e com e
Como
e
temos
. Analogamente
. Então
Como
, da desigualdade
segue
(pois para números não negativos
). Portanto
logo
e assim
.
Concluímos os dois casos, logo
.
Passo 5
Prova da inclusão
.
Seja
. Então
. Dois casos:
-
Se
, então pela definição do produto (porque todo racional não positivo está no produto). Portanto pertence ao produto. -
Se
, então . Quero construir e , ambos positivos, tais que . Uma escolha simples é tomar com apropriado; então basta arranjar com
Justificativa da existência de tal
:
- Como
, temos (pela monotonicidade da raiz quadrada em números não negativos). - Os racionais são densos nos reais, logo existe
tal que
- Para esse
temos e (pela monotonicidade da função em ). Portanto é racional, , e assim . Além disso e , i.e. . - Tomando
obtemos , e . Assim, pela definição do produto, .
Portanto todo
está em
.
Passo 6
Juntando as duas inclusões demonstradas nos passos anteriores temos
logo igualdade de conjuntos:
Comentário de incentivo: valeu a pena fazer as duas inclusões direitinhas — a ideia essencial é que números da forma
e
com
e
têm produto menor que
, e que, para qualquer racional
, dá para aproximar
por racionais
com
ligeiramente menor que
mas maiores que
.