Exercício 9. É bem conhecido o corte \sqrt{2}:=\left\{x \in \mathbb{Q}: x^{2}-2<0\right\} \cup 0^{*} pelo fato de não ser um corte do tipo r^{*}. Mostre que vale a igualdade de conjuntos
\sqrt{2} \bullet_{\mathbb{R}} \sqrt{2}=2^{*} .

Passo 1

O enunciado dá a definição do corte
\sqrt{2}:=\{x\in\mathbb{Q}:\;x^{2}-2<0\}\cup 0^{*},
onde, por definição padrão, para r\in\mathbb{Q} o corte r^{*} é
r^{*}=\{q\in\mathbb{Q}:\;q<r\}.
Pede-se para mostrar a igualdade de conjuntos
\sqrt{2}\bullet_{\mathbb{R}}\sqrt{2}=2^{*}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • \sqrt{2} é o conjunto de racionais cuja quadrado é menor que 2, junto com 0^{*} para garantir que números negativos também apareçam.
  • 2^{*} é o conjunto de racionais menores que 2.
  • É preciso comparar dois cortes construídos como produto (produto de cortes na construção dos reais por cortes de Dedekind).

Passo 2

Vou recordar e explicar a definição que vou usar do produto de cortes (isso é fundamental para entender os passos seguintes).
Definição (produto de cortes positivos). Seja A e B cortes em \mathbb{Q}. O produto A\bullet_{\mathbb{R}} B é o conjunto de todos os racionais q tais que uma das duas condições vale:
\text{(i)}\quad q\le 0, \qquad\text{ou}\qquad \text{(ii)}\quad \exists\,a\in A,\\ \exists\,b\in B\\ \text{com }a>0,\\ b>0\\ \text{e}\\ q<ab.
Explicando cada parte:
  • A condição q\le 0 garante que todos os racionais não positivos estão no produto (isso é compatível com a construção usual dos cortes).
  • A segunda condição diz que um racional positivo q pertence ao produto sempre que existe um par de elementos positivos a\in A e b\in B cujo produto ab é maior que q. Note que usamos q<ab (estrito) para facilitar separação e existência.
Observação didática: para provar igualdade de conjuntos é suficiente provar duas inclusões: \sqrt{2}\bullet\sqrt{2}\subseteq 2^{*} e 2^{*}\subseteq \sqrt{2}\bullet\sqrt{2}.

Passo 3

Estratégia:
  • Provar que todo elemento do produto \sqrt{2}\bullet\sqrt{2} é menor que 2, isto é \sqrt{2}\bullet\sqrt{2}\subseteq 2^{*}.
  • Provar que todo racional menor que 2 pertence ao produto, isto é 2^{*}\subseteq \sqrt{2}\bullet\sqrt{2}.
Vou tratar separadamente casos q\le 0 e q>0 quando necessário, e usar duas propriedades simples que vou justificar:
  1. Se a>0 e b>0 então (ab)^{2}=a^{2}b^{2}.
  2. Se 0<r<s então r^{2}<s^{2} (monotonicidade da função x\mapsto x^{2} em [0,\infty)).
    Também vou usar que os racionais são densos nos reais: entre dois reais distintos existe um racional. (Isto garante que, para 0<q<2, existe racional r com \sqrt{q}<r<\sqrt{2}.)

Passo 4

Prova da inclusão \sqrt{2}\bullet\sqrt{2}\subseteq 2^{*}.
Seja x\in \sqrt{2}\bullet\sqrt{2}. Dois casos:
  1. Se x\le 0, então claramente x<2, logo x\in 2^{*}.
  2. Se x>0, então pela definição do produto existe a\in\sqrt{2} e b\in\sqrt{2} com a>0,\\ b>0 e
x<ab.
Como a\in\sqrt{2} e a>0 temos a^{2}<2. Analogamente b^{2}<2. Então
(ab)^{2}=a^{2}b^{2}<2\cdot 2=4.
Como ab>0, da desigualdade (ab)^{2}<4 segue ab<2 (pois para números não negativos y^{2}<4\iff y<2). Portanto
x<ab<2,
logo x<2 e assim x\in 2^{*}.
Concluímos os dois casos, logo \sqrt{2}\bullet\sqrt{2}\subseteq 2^{*}.

Passo 5

Prova da inclusão 2^{*}\subseteq \sqrt{2}\bullet\sqrt{2}.
Seja q\in 2^{*}. Então q<2. Dois casos:
  1. Se q\le 0, então pela definição do produto q\in \sqrt{2}\bullet\sqrt{2} (porque todo racional não positivo está no produto). Portanto q pertence ao produto.
  2. Se q>0, então 0<q<2. Quero construir a\in\sqrt{2} e b\in\sqrt{2}, ambos positivos, tais que q<ab. Uma escolha simples é tomar a=b=r com r\in\mathbb{Q} apropriado; então basta arranjar r\in\mathbb{Q} com
q<r^{2}<2.
Justificativa da existência de tal r:
  • Como 0<q<2, temos \sqrt{q}<\sqrt{2} (pela monotonicidade da raiz quadrada em números não negativos).
  • Os racionais são densos nos reais, logo existe r\in\mathbb{Q} tal que
\sqrt{q}<r<\sqrt{2}.
  • Para esse r temos r^{2}>q e r^{2}<2 (pela monotonicidade da função t\mapsto t^{2} em [0,\infty)). Portanto r é racional, r^{2}<2, e assim r\in\sqrt{2}. Além disso r>0 e r^{2}>q, i.e. q<r\cdot r.
  • Tomando a=b=r obtemos a,b\in\sqrt{2}, a>0,b>0 e q<ab. Assim, pela definição do produto, q\in\sqrt{2}\bullet\sqrt{2}.
Portanto todo q\in 2^{*} está em \sqrt{2}\bullet\sqrt{2}.

Passo 6

Juntando as duas inclusões demonstradas nos passos anteriores temos
\sqrt{2}\bullet\sqrt{2}\subseteq 2^{*} \qquad\text{e}\qquad 2^{*}\subseteq \sqrt{2}\bullet\sqrt{2},
logo igualdade de conjuntos:
\sqrt{2}\bullet_{\mathbb{R}}\sqrt{2}=2^{*}.
Comentário de incentivo: valeu a pena fazer as duas inclusões direitinhas — a ideia essencial é que números da forma a e b com a^{2}<2 e b^{2}<2 têm produto menor que 2, e que, para qualquer racional q<2, dá para aproximar \sqrt{2} por racionais r com r^{2} ligeiramente menor que 2 mas maiores que q.

Resposta

\sqrt{2}\bullet_{\mathbb{R}}\sqrt{2}=2^{*}

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