(2.0) Calcule integral triplaB sin (z) d x d y d z, sendo B o conjunto limitado pelos planos z=0, z=pi e pelas superfícies x=y e y=x^2-2 x.

Passo 1

O enunciado pede
integral triplaBsin(z),dx,dy,dz
onde B é o sólido limitado por z=0, z=pi e pelas superfícies x=y e y=x^2-2x.
Como o integrando depende só de z, vamos usar o Teorema de Fubini para separar a integral em
(integral duplaD1,dx,dy);times;(integral0^pisin(z),dz)
sendo D a projeção de B no plano xy.

Passo 2

Para obter D, igualamos as curvas de contorno no plano xy:
x^2-2x = y = x Longrightarrow x^2-3x=0 Longrightarrow x=0 ou x=3
Para 0<= x<=3, temos
yinferior=x^2-2x, ysuperior=x

Passo 3

A área de D é
integral duplaD1,dx,dy =integralx=0^3l[x - (x^2-2x)r],dx =integral0^3(3x - x^2),dx
Calculando,
integral0^3(3x - x^2),dx =[3x^22-x^33]0^3 =272-9 =92

Passo 4

Agora a integral em z:
integral0^pisin(z),dz =l[-cos(z)r]0^pi =-cos(pi)+cos(0) =2

Passo 5

Pelo Teorema de Fubini,
integral triplaBsin(z),dV =l(integral duplaD1,dAr)timesl(integral0^pisin(z),dzr) =92times2 =9

Resposta

,9,

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