Aplicando Redução de Ordem, encontre uma segunda solução para as EDOs:
x y^prime prime+2 y^prime+x y=0 ; y1=x^-1 cos x

Passo 1

O enunciado dá a EDO
x,y'' + 2,y' + x,y = 0
e fornece uma solução y1 = x^-1cos x. O conteúdo é Redução de Ordem, que serve para achar uma segunda solução y2 dada uma já conhecida.

Passo 2

Dividimos tudo por x para ficar no formato padrão
y'' + 2x,y' + y = 0,
onde P(x)=2/x e Q(x)=1.

Passo 3

Pela fórmula de Redução de Ordem, se y1 é solução, então
y2 = y1,integral expl(-integral P(x),dxr)y1^2,dx

Passo 4

Calculamos
integral P(x),dx = integral 2x,dx = 2ln|x|Longrightarrow e^-integral P,dx = x^-2
Logo o integrando é
x^-2l(x^-1cos xr)^2 = x^-2x^-2cos^2x = sec^2x

Passo 5

Integramos sec^2x:
integral sec^2x,dx = tan x,
e então
y2 = y1,tan x = x^-1cos x ,tan x = sin xx

Resposta

A segunda solução é
y2 = sin xx

Exercícios relacionados