Find the vertices, foci, and asymptotes of the hyperbola and sketch its graph.
21. y^2-x^2=4

Passo 1

O enunciado nos dá a hipérbole
y^2-x^2=4
e pede vértices, focos, assíntotas e o esboço do gráfico. O conteúdo é geometria analítica de hipérboles, em que usamos a forma padrão
y^2a^2 - x^2b^2 = 1
e as fórmulas a^2, b^2 e c^2=a^2+b^2.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por 4, obtemos a forma padrão:
y^24 - x^24 = 1
Isso mostra que
a^2=4, b^2=4,
ou seja, a=2 e b=2.

Passo 3

Como o termo positivo é tfracy^2a^2, o eixo transverso é o eixo y. Os vértices ficam em
(0,pm a) = (0,pm2)

Passo 4

Os focos satisfazem
c^2 = a^2 + b^2 = 4 + 4 = 8,
logo c = 2raiz2. Como o eixo é vertical, os focos são
(0,pm c) = (0,pm2raiz2)

Passo 5

As assíntotas de uma hipérbole com eixo vertical são dadas por
y = pm ab,x = pm x

Passo 6

O gráfico tem dois ramos simétricos em torno do eixo y, abertos para cima e para baixo, com vértices em (0,2) e (0,-2) e assíntotas y=x e y=-x.

Resposta

Vértices: (0,2) e (0,-2)
Focos: (0,2raiz2) e (0,-2raiz2)
Assíntotas: y = x e y = -x

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