Find the vertices, foci, and asymptotes of the hyperbola and sketch its graph.
21.
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Passo 1
O enunciado nos dá a hipérbole
e pede vértices, focos, assíntotas e o esboço do gráfico. O conteúdo é geometria analítica de hipérboles, em que usamos a forma padrão
e as fórmulas
,
e
.
Passo 2
Dividindo ambos os lados por
, obtemos a forma padrão:
Isso mostra que
ou seja,
e
.
Passo 3
Como o termo positivo é
, o eixo transverso é o eixo
. Os vértices ficam em
Passo 4
Os focos satisfazem
logo
. Como o eixo é vertical, os focos são
Passo 5
As assíntotas de uma hipérbole com eixo vertical são dadas por
Passo 6
O gráfico tem dois ramos simétricos em torno do eixo
, abertos para cima e para baixo, com vértices em
e
e assíntotas
e
.
Resposta
Vértices:
e
Focos: e
Assíntotas: e
Focos:
Assíntotas: