Find the vertices, foci, and asymptotes of the hyperbola and sketch its graph.
22. 9 x^2-4 y^2=36

Passo 1

O enunciado dá a hipérbole centrada na origem com equação
9x^2-4y^2=36
Aqui o conteúdo é seções cônicas, em particular hipérboles, e vamos precisar: colocar em forma canônica, identificar a, b, calcular c, achar vértices, focos e assíntotas e, por fim, esboçar o gráfico.

Passo 2

Para pôr em forma canônica, dividimos ambos os lados por 36:
9x^236-4y^236=1 Longrightarrow x^24-y^29=1
Dessa forma vemos que
a^2=4, b^2=9,
logo a=2 e b=3.

Passo 3

Os vértices de uma hipérbole horizontal centrada na origem são (pm a,0). Portanto:
vértices:;(pm2,0) é

Passo 4

Para os focos usamos c^2=a^2+b^2, isto é
c^2=4+9=13, c=raiz13
Logo os focos são
focos:;(pmraiz13,0)

Passo 5

As assíntotas de uma hipérbole do tipo x^2a^2-y^2b^2=1 são as retas
y=pmba,x
Substituindo a=2 e b=3, vem
assíntotas:;y=pm32x í

Passo 6

O esboço do gráfico mostra dois ramos abertos para a direita e para a esquerda, com centro na origem, vértices em (pm2,0) e aproximando-se das retas y=pmtfrac32x.

Resposta

Vértices: (2,0) e (-2,0)
Focos: (raiz13,0) e (-raiz13,0)
Assíntotas: y=tfrac32x e y=-tfrac32x

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