Find the vertices, foci, and asymptotes of the hyperbola and sketch its graph.
22.
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Passo 1
O enunciado dá a hipérbole centrada na origem com equação
Aqui o conteúdo é seções cônicas, em particular hipérboles, e vamos precisar: colocar em forma canônica, identificar
,
, calcular
, achar vértices, focos e assíntotas e, por fim, esboçar o gráfico.
Passo 2
Para pôr em forma canônica, dividimos ambos os lados por
:
Dessa forma vemos que
logo
e
.
Passo 3
Os vértices de uma hipérbole horizontal centrada na origem são
. Portanto:
Passo 4
Para os focos usamos
, isto é
Logo os focos são
Passo 5
As assíntotas de uma hipérbole do tipo
são as retas
Substituindo
e
, vem
Passo 6
O esboço do gráfico mostra dois ramos abertos para a direita e para a esquerda, com centro na origem, vértices em
e aproximando-se das retas
.
Resposta
Vértices:
e
Focos: e
Assíntotas: e
Focos:
Assíntotas: