Calcule integral triplaB e^(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 dV, onde B é a bola unitária B=(rho, theta, phi) mid 0 <= rho <= 1,0 <= theta <= 2 pi, 0 <= phi <= pi

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral
integral triplaB e^l(x^2+y^2+z^2r)^3/2 dV
onde B é a bola unitária. O conteúdo é mudança para coordenadas esféricas e uso de substituição para a parte radial.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos
r = raizx^2+y^2+z^2, dV = r^2 sinphi,dr,dphi,dtheta,
e
l(x^2+y^2+z^2r)^3/2 = l(r^2r)^3/2 = r^3
Logo o integrando fica e^r^3 e o elemento de volume é r^2sinphi,dr,dphi,dtheta.

Passo 3

O integral torna-se
integral0^2pi!!integral0^pi!!integral0^1 e^r^3,r^2sinphi ;dr,dphi,dtheta
Como não há acoplamento entre variáveis, separamos em parte angular e parte radial.

Passo 4

Calcular a parte angular:
integral0^2pidtheta = 2pi, integral0^pisinphi,dphi = 2,
portanto a parte angular vale 4pi.

Passo 5

Calcular a parte radial:
integral0^1e^r^3,r^2,dr
Fazendo u=r^3, du=3r^2,dr ou r^2,dr=tfrac13du, os limites vão de u(0)=0 a u(1)=1. Logo
integral0^1e^r^3r^2,dr = 13integral0^1e^u,du = 13l[e^ur]0^1 = e-13

Passo 6

Combinar as partes:
integral triplaBe^(x^2+y^2+z^2)^3/2,dV = l(4pir)timese-13 = 4pi3,(e-1)

Resposta

4pi3(e-1)

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