Nos Problemas 15-28, determine a solução geral das equações diferenciais de ordem elevada dadas.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
O método consiste em assumir uma solução da forma
, obter a equação característica em
, encontrar suas raízes e combinar as soluções elementares.
Passo 2
Assumindo
, temos
logo a equação diferencial vira a equação característica
Passo 3
Para fatorar
, testamos raízes inteiras: para
portanto
é raiz. Dividindo o polinômio por
(por divisão sintética ou longa) obtemos o quociente
Passo 4
Resolvendo
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Logo as raízes são
,
e
.
Passo 5
Cada raiz gera uma solução elementar:
- Para
, temos . - Para as raízes complexas
, a solução real geral é
Assim a combinação linear geral é
onde
são constantes arbitrárias.