Nos Problemas 15-28, determine a solução geral das equações diferenciais de ordem elevada dadas.
d^3 ud t^3+d^2 ud t^2-2 u=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
d^3udt^3 + d^2udt^2 - 2,u = 0
O método consiste em assumir uma solução da forma u(t)=e^r t, obter a equação característica em r, encontrar suas raízes e combinar as soluções elementares.

Passo 2

Assumindo u(t)=e^r t, temos
d^3udt^3 = r^3e^r t, d^2udt^2 = r^2e^r t,
logo a equação diferencial vira a equação característica
r^3 + r^2 - 2 = 0

Passo 3

Para fatorar r^3+r^2-2, testamos raízes inteiras: para r=1
1^3 + 1^2 - 2 = 0,
portanto r=1 é raiz. Dividindo o polinômio por (r-1) (por divisão sintética ou longa) obtemos o quociente
r^2 + 2r + 2

Passo 4

Resolvendo r^2 + 2r + 2 = 0, usamos a fórmula de Bhaskara:
r = -2 pm raiz2^2 - 4cdot1cdot22 = -2 pm raiz-42 = -1 pm i
Logo as raízes são r1=1, r2=-1+i e r3=-1-i.

Passo 5

Cada raiz gera uma solução elementar:
  • Para r1=1, temos e^t.
  • Para as raízes complexas -1pm i, a solução real geral é
e^-tcos t e e^-tsin t
Assim a combinação linear geral é
u(t) = C1e^t + C2e^-tcos t + C3e^-tsin t,
onde C1,C2,C3 são constantes arbitrárias.

Resposta

u(t) = C1e^t + C2e^-tcos t + C3e^-tsin t

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