Calcule.
integral triplaB(x^2+y z) d x d y d z, onde B=(x, y, z) in R^3 ; 0 <= x <= 2,-3 <= y <= 0,-1 <= z <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integral triplaBl(x^2+y,zr),dx,dy,dz
onde B é o paralelepípedo
0 <= x <= 2, -3 <= y <= 0, -1 <= z <= 1
O conteúdo envolvido é aplicação do Teorema de Fubini e separação de integrais em variáveis independentes.

Passo 2

Pela linearidade da integral, escrevemos
integral triplaBl(x^2+y,zr),dV = integral triplaBx^2,dV ;+; integral triplaBy,z,dV

Passo 3

Calcular integral triplaBx^2,dV.
Pelo Teorema de Fubini:
integral0^2!!integral-3^0!!integral-1^1x^2,dz,dy,dx =integral0^2x^2l(!integral-3^0dyr)l(!integral-1^1dzr)dx
Como
integral-3^0dy=3 e integral-1^1dz=2, temos
integral0^2x^2,(3cdot2),dx =6integral0^2x^2,dx =6cdot2^33 =6cdot83 =16

Passo 4

Calcular integral triplaBy,z,dV.
Ainda por Fubini:
integral0^2dx;integral-3^0!!integral-1^1y,z,dz,dy =l(integral0^2dxr); integral-3^0yl(integral-1^1z,dzr)dy
Mas integral-1^1z,dz=0 por simetria, logo toda essa integral vale 0.

Resposta

16

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