Calcule.
integral triplaB 2 x d x d y d z, onde B=(x, y, z) in R^3 ; 0 <= y <= 2,0 <= x <= raiz4-y^2, 0 <= z <= y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integral triplaB2x,dx,dy,dz,
onde
B=(x,y,z)inR^3 mid 0<= y<=2,;0<= x<=raiz4-y^2,;0<= z<= y
O conteúdo é aplicação do Teorema de Fubini para integrar em ordem z, depois x e por fim y.

Passo 2

Integramos primeiro em z, com 0<= z<= y, tratando x e y como constantes:
integral0^y2x,dz = 2xintegral0^ydz = 2x,y

Passo 3

Agora integramos em x, com 0<= x<= raiz4-y^2:
integral0^raiz4-y^22x,y,dx = yintegral0^raiz4-y^22x,dx = yl[x^2r]0^raiz4-y^2 = y,(4-y^2)

Passo 4

Por fim integramos em y, de 0 a 2:
integral0^2y,(4-y^2),dy =integral0^2(4y - y^3),dy =l[2y^2 - tfrac14y^4r]0^2 =8 - 4 =4

Resposta

O valor da integral é 4.

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