Calcule a integral
integral triplaB x d V sendo B=(x, y, z) in R^3 mid x^2-y^2 <= z <= 1-2 y^2.

Passo 1

O enunciado pede
integral triplaB x ,dV
onde
B=(x,y,z)inR^3mid x^2-y^2<= z<= 1-2y^2
O conteúdo é troca de ordem de integração: projetar B no plano xy, integrar em z e depois em x,y. Usaremos também simetria para concluir o valor.

Passo 2

Para haver pontos em B precisamos de
x^2 - y^2 ;<=; 1 - 2y^2 Long<=ftrightarrow x^2 + y^2 <= 1
Logo a projeção de B no plano xy é o disco
D = (x,y)mid x^2 + y^2 <= 1,
e para cada (x,y)in D temos z variando de z=x^2-y^2 até z=1-2y^2.

Passo 3

Integramos primeiro em z:
integral triplaB x,dV = integral duplaD x l[integralz=x^2-y^2^,1-2y^2dzr]dA = integral duplaD xl(1-2y^2 - (x^2 - y^2)r),dA = integral duplaD xl(1 - x^2 - y^2r),dA

Passo 4

O domínio D é simétrico em x e a função x(1 - x^2 - y^2) é ímpar em x. Portanto, a integral sobre D anula-se:
integral duplaD x(1 - x^2 - y^2),dA = 0

Resposta

0

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