Calcule integral triplaB z^2 d V em que B é o tetraedro sólido delimitado pelos quatro planos x=0, y=0, z=0 e x+y+z=2.

Passo 1

O enunciado quer calcular o integral triplo de z^2 sobre o tetraedro B definido por x>=0, y>=0, z>=0 e x+y+z<=2. Vamos usar coordenadas cartesianas e montar uma integral iterada.

Passo 2

A região B em termos de limites iterados pode ser descrita como: 0<= z<=2, 0<= y<=2-z e 0<= x<=2-y-z. Assim o integral fica
integral triplaB z^2,dV =integralz=0^2integraly=0^2-zintegralx=0^2-y-z z^2,dx,dy,dz

Passo 3

Primeiro integramos em x, lembrando que z^2 é constante em relação a x:
integralx=0^2-y-z z^2,dx = z^2,(2-y-z)

Passo 4

Depois integramos em y:
integraly=0^2-z z^2,(2-y-z),dy = z^2integral0^2-z(2-z-y),dy = z^2(2-z)^22

Passo 5

Finalmente integramos em z:
integral triplaB z^2,dV = integral0^2 z^2(2-z)^22,dz = 12integral0^2(4z^2-4z^3+z^4),dz
Calculando:
integral0^2(4z^2-4z^3+z^4),dz = 323-16+325=1615,
logo o integral todo é metade disso.

Passo 6

Portanto o valor do integral é 1630 = 815

Resposta

815

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