Mostre que não existe n inteiro positivo tal que 13 mid n^3-3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que não existe nenhum número inteiro positivo $ n $ que, quando você calcula $ n^3 - 3 $, o resultado é divisível por 13. Aqui, estamos trabalhando com aritmética modular, especificamente com o módulo 13. Para resolver, vamos verificar os possíveis valores de $ n^3 $ dentro do módulo 13 e ver se algum deles resulta em 3.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que em módulo 13, os possíveis restos ao dividir qualquer número por 13 são de 0 a 12. Então, vamos considerar todos os valores de $ n $ de 0 a 12 e calcular $ n^3 $ para cada um deles, reduzindo o resultado dentro do módulo 13.

Passo 3

Vamos calcular $ n^3 \mod 13 $ para cada $ n $ de 0 a 12:
n^3 mod 13

Passo 4

Agora, olhamos para os resultados dos cálculos acima e procuramos se algum $ n^3 \mod{13} $ é igual a 3. Observando a lista:
n^3 mod13
Nenhum desses restos é igual a 3. Isso significa que não existe nenhum $ n $ no conjunto dos inteiros positivos que satisfaça a condição $ n^3 \equiv 3 \mod{13} $.

Resposta

Não existe nenhum número inteiro positivo $ n $ tal que $ 13 $ divide $ n^{3} - 3 $.

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