O valor de uma aplicação de R foi utilizado para liquidar exatamente, três dividas: a primeira no valor de foi utilizado para liquidar exatamente, três dividas: a primeira no valor de vencivel de hoje a um bimestre; a segunda no valor 10.000,00 vencivel de hoje a 210 dias e última no valor de R$12.000,00. Sabendo-se que o prazo da segunda é menor do que prazo da terceira e que a taxa foi R a.t, pede-se o prazo de vencimento da última dívida. Capitalização simples.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um investimento de R$ 32.263,19 que foi usado para quitar exatamente três dívidas:
  1. Primeira dívida: R$ 10.000,00, com vencimento em um bimestre (dois meses) a partir de hoje.
  2. Segunda dívida: R$ 15.000,00, com vencimento em 210 dias a partir de hoje.
  3. Terceira dívida: R$ 12.000,00, cujo prazo de vencimento é o que precisamos descobrir.
Sabemos também que a taxa de juros é de 6% ao mês (a.t) e estamos lidando com capitalização simples. Nosso objetivo é encontrar o prazo de vencimento da última dívida.
Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a capitalização simples e como calcular os juros de cada dívida para garantir que a soma delas seja igual ao valor total investido.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é capitalização simples. Na capitalização simples, os juros são calculados apenas sobre o valor principal, sem considerar os juros já acumulados. A fórmula para calcular os juros simples é:
J = P times i times t
Onde:
  • $ J $ é o juros,
  • $ P $ é o principal (valor inicial),
  • $ i $ é a taxa de juros por período,
  • $ t $ é o tempo.
E o montante $ M $ é:
J
Vamos aplicar isso para cada uma das dívidas.

Passo 3

Vamos calcular o montante de cada dívida após o período determinado, usando a fórmula do montante na capitalização simples.
  1. Primeira dívida:
    • $ P_1 = 10.000,00 $,
    • $ t_1 = 2 $ meses,
    • $ i = 6% $ ao mês, ou $ 0,06 $.
    P1 = 10.000,00
  2. Segunda dívida:
    • $ P_2 = 15.000,00 $,
    • $ t_2 = 210 $ dias. Vamos converter isso para meses. Sabendo que 1 mês tem aproximadamente 30 dias:
    t1 = 2 meses.
    i = 6%
  3. Terceira dívida:
    • $ P_3 = 12.000,00 $,
    • $ t_3 $ é o que precisamos encontrar,
    • $ i = 6% $ ao mês, ou $ 0,06 $.
    0,06

Passo 4

Agora, sabemos que o valor total investido foi de R$ 32.263,19, e que esse valor foi usado para pagar exatamente as três dívidas. Então, a soma dos montantes das três dívidas deve ser igual a R$ 32.263,19.
32.263,19, e que esse valor foi usado para pagar exatamente as três dívidas Então, a soma dos montantes das três dívidas deve ser igual a R
Substituindo os valores que já calculamos:
M1 + M2 + M3 = 32.263,19
Simplificando:
11.200 + 21.300 + 12.000 times (1 + 0,06 times t3) = 32.263,19

Passo 5

Vamos resolver a equação para encontrar $ t_3 $:
t3
Subtraindo 32.500 de ambos os lados:
32.500 + 720 times t3 = 32.263,19
720 times t3 = 32.263,19 - 32.500
Dividindo ambos os lados por 720:
720 times t3 = -236,81
t3 = -236,81720 meses.
Esse resultado negativo não faz sentido no contexto, o que indica que houve um erro nos cálculos anteriores.

Passo 6

Vamos revisitar nossos cálculos, especialmente a conversão de dias para meses, que pode ter causado o problema.
Recalculando $ t_2 $:
t2 meses.
Recalculando $ M_2 $:
t2 = 21030 = 7
Agora, somando $ M_1 $ e $ M_2 $:
M2
O investimento foi de R$ 32.263,19, que é menor que a soma $ M_1 + M_2 = 32.500 $. Isso significa que não há valor restante para a terceira dívida, o que não está de acordo com o enunciado.
Isso sugere que talvez a taxa ou os prazos estejam interpretados incorretamente. Vamos reavaliar a taxa de juros.

Passo 7

No enunciado, a taxa foi de 6% a.t., que interpretamos como 6% ao mês. Porém, considerando que a segunda dívida tem 210 dias, podemos estar lidando com uma taxa equivalente ou outra periodicidade.
Vamos reconsiderar a interpretação da taxa. Se considerarmos que 6% é a taxa efetiva para o período total, isso pode alterar os cálculos.
Vamos tentar resolver a equação diretamente sem converter os prazos.

Passo 8

Vamos expressar a soma dos montantes das três dívidas e igualar ao investimento:
M1 + M2 + M3 = 32.263,19
Onde:
M1 = 10.000 times (1 + 0,06 times t1)
M2 = 15.000 times (1 + 0,06 times t2)
M3 = 12.000 times (1 + 0,06 times t3)
Sabemos que $ t_1 = 2 $ meses e $ t_2 = 210 $ dias, que é 7 meses.
Substituindo:
t1 = 2
Calculando:
t2 = 210
10.000 times (1 + 0,06 times 2) + 15.000 times (1 + 0,06 times 7) + 12.000 times (1 + 0,06 times t3) = 32.263,19
Somando os valores conhecidos:
10.000 times 1,12 + 15.000 times 1,42 + 12.000 times (1 + 0,06 times t3) = 32.263,19
Novamente, temos:
11.200 + 21.300 + 12.000 times (1 + 0,06 times t3) = 32.263,19
32.500 + 12.000 times (1 + 0,06 times t3) = 32.263,19
Isso ainda resulta em um valor negativo para $ t_3 $, o que não é viável. Parece que há uma inconsistência nos dados fornecidos ou na interpretação da taxa.

Passo 9

Considerando que a soma dos montantes das duas primeiras dívidas já excede o investimento total, devemos revisar a interpretação da taxa de juros. Talvez a taxa seja anual e não mensal.
Vamos reavaliar assumindo que a taxa de 6% é anual. Assim, a taxa mensal seria:
i = 6%12 = 0,5% ao mês.
Vamos refazer os cálculos com essa nova taxa.

Passo 10

  1. Primeira dívida:
    • $ P_1 = 10.000 $,
    • $ t_1 = 2 $ meses,
    • $ i = 0,005 $.
    P1 = 10.000
  2. Segunda dívida:
    • $ P_2 = 15.000 $,
    • $ t_2 = 7 $ meses,
    • $ i = 0,005 $.
    t1 = 2
  3. Terceira dívida:
    • $ P_3 = 12.000 $,
    • $ t_3 $ = ?
    • $ i = 0,005 $.
    i = 0,005
Agora, somando os montantes:
M1 = 10.000 times (1 + 0,005 times 2) = 10.000 times 1,01 = 10.100
Simplificando:
P2 = 15.000
Subtraindo 25.625 de ambos os lados:
t2 = 7
i = 0,005
Dividindo ambos os lados por 12.000:
M2 = 15.000 times (1 + 0,005 times 7) = 15.000 times 1,035 = 15.525
P3 = 12.000
Subtraindo 1 de ambos os lados:
t3
Dividindo por 0,005:
i = 0,005
M3 = 12.000 times (1 + 0,005 times t3) meses.
Ainda estamos obtendo um valor negativo para $ t_3 $, o que não faz sentido.

Passo 11

Parece que há uma inconsistência nos dados fornecidos ou na interpretação das taxas. Para que as três dívidas somem exatamente ao valor investido, a taxa e os prazos devem estar alinhados de forma que:
M1 + M2 + M3 = 32.263,19
Considerando que os montantes das duas primeiras dívidas já somam R$25.625, ainda precisamos que a terceira dívida, com juros, complemente os R$6.638,19 restantes. No entanto, com as taxas e prazos considerados, isso não está acontecendo.
Pode ser que a taxa de juros seja diferente ou que os prazos estejam interpretados de forma incorreta. Seria bom revisar os dados fornecidos ou consultar o professor para esclarecimentos adicionais.

Resposta

Após analisar os cálculos e considerar diferentes interpretações da taxa de juros, verificamos que, com as informações fornecidas, não é possível determinar um prazo válido para a terceira dívida que satisfaça a condição do investimento total. Recomenda-se revisar os dados do exercício ou buscar esclarecimentos adicionais para uma resolução correta.

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