O valor de uma aplicação de
foi utilizado para liquidar exatamente, três dividas: a primeira no valor de
vencivel de hoje a um bimestre; a segunda no valor
vencivel de hoje a 210 dias e última no valor de R$12.000,00. Sabendo-se que o prazo da segunda é menor do que prazo da terceira e que a taxa foi
a.t, pede-se o prazo de vencimento da última dívida. Capitalização simples.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um investimento de R$ 32.263,19 que foi usado para quitar exatamente três dívidas:
- Primeira dívida: R$ 10.000,00, com vencimento em um bimestre (dois meses) a partir de hoje.
- Segunda dívida: R$ 15.000,00, com vencimento em 210 dias a partir de hoje.
- Terceira dívida: R$ 12.000,00, cujo prazo de vencimento é o que precisamos descobrir.
Sabemos também que a taxa de juros é de 6% ao mês (a.t) e estamos lidando com capitalização simples. Nosso objetivo é encontrar o prazo de vencimento da última dívida.
Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a capitalização simples e como calcular os juros de cada dívida para garantir que a soma delas seja igual ao valor total investido.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é capitalização simples. Na capitalização simples, os juros são calculados apenas sobre o valor principal, sem considerar os juros já acumulados. A fórmula para calcular os juros simples é:
Onde:
- $ J $ é o juros,
- $ P $ é o principal (valor inicial),
- $ i $ é a taxa de juros por período,
- $ t $ é o tempo.
E o montante $ M $ é:
Vamos aplicar isso para cada uma das dívidas.
Passo 3
Vamos calcular o montante de cada dívida após o período determinado, usando a fórmula do montante na capitalização simples.
-
Primeira dívida:
- $ P_1 = 10.000,00 $,
- $ t_1 = 2 $ meses,
- $ i = 6% $ ao mês, ou $ 0,06 $.
-
Segunda dívida:
- $ P_2 = 15.000,00 $,
- $ t_2 = 210 $ dias. Vamos converter isso para meses. Sabendo que 1 mês tem aproximadamente 30 dias:
meses. -
Terceira dívida:
- $ P_3 = 12.000,00 $,
- $ t_3 $ é o que precisamos encontrar,
- $ i = 6% $ ao mês, ou $ 0,06 $.
Passo 4
Agora, sabemos que o valor total investido foi de R$ 32.263,19, e que esse valor foi usado para pagar exatamente as três dívidas. Então, a soma dos montantes das três dívidas deve ser igual a R$ 32.263,19.
Substituindo os valores que já calculamos:
Simplificando:
Passo 5
Vamos resolver a equação para encontrar $ t_3 $:
Subtraindo 32.500 de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 720:
Esse resultado negativo não faz sentido no contexto, o que indica que houve um erro nos cálculos anteriores.
Passo 6
Vamos revisitar nossos cálculos, especialmente a conversão de dias para meses, que pode ter causado o problema.
Recalculando $ t_2 $:
Recalculando $ M_2 $:
Agora, somando $ M_1 $ e $ M_2 $:
O investimento foi de R$ 32.263,19, que é menor que a soma $ M_1 + M_2 = 32.500 $. Isso significa que não há valor restante para a terceira dívida, o que não está de acordo com o enunciado.
Isso sugere que talvez a taxa ou os prazos estejam interpretados incorretamente. Vamos reavaliar a taxa de juros.
Passo 7
No enunciado, a taxa foi de 6% a.t., que interpretamos como 6% ao mês. Porém, considerando que a segunda dívida tem 210 dias, podemos estar lidando com uma taxa equivalente ou outra periodicidade.
Vamos reconsiderar a interpretação da taxa. Se considerarmos que 6% é a taxa efetiva para o período total, isso pode alterar os cálculos.
Vamos tentar resolver a equação diretamente sem converter os prazos.
Passo 8
Vamos expressar a soma dos montantes das três dívidas e igualar ao investimento:
Onde:
Sabemos que $ t_1 = 2 $ meses e $ t_2 = 210 $ dias, que é 7 meses.
Substituindo:
Calculando:
Somando os valores conhecidos:
Novamente, temos:
Isso ainda resulta em um valor negativo para $ t_3 $, o que não é viável. Parece que há uma inconsistência nos dados fornecidos ou na interpretação da taxa.
Passo 9
Considerando que a soma dos montantes das duas primeiras dívidas já excede o investimento total, devemos revisar a interpretação da taxa de juros. Talvez a taxa seja anual e não mensal.
Vamos reavaliar assumindo que a taxa de 6% é anual. Assim, a taxa mensal seria:
Vamos refazer os cálculos com essa nova taxa.
Passo 10
-
Primeira dívida:
- $ P_1 = 10.000 $,
- $ t_1 = 2 $ meses,
- $ i = 0,005 $.
-
Segunda dívida:
- $ P_2 = 15.000 $,
- $ t_2 = 7 $ meses,
- $ i = 0,005 $.
-
Terceira dívida:
- $ P_3 = 12.000 $,
- $ t_3 $ = ?
- $ i = 0,005 $.
Agora, somando os montantes:
Simplificando:
Subtraindo 25.625 de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 12.000:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Dividindo por 0,005:
Ainda estamos obtendo um valor negativo para $ t_3 $, o que não faz sentido.
Passo 11
Parece que há uma inconsistência nos dados fornecidos ou na interpretação das taxas. Para que as três dívidas somem exatamente ao valor investido, a taxa e os prazos devem estar alinhados de forma que:
Considerando que os montantes das duas primeiras dívidas já somam R$25.625, ainda precisamos que a terceira dívida, com juros, complemente os R$6.638,19 restantes. No entanto, com as taxas e prazos considerados, isso não está acontecendo.
Pode ser que a taxa de juros seja diferente ou que os prazos estejam interpretados de forma incorreta. Seria bom revisar os dados fornecidos ou consultar o professor para esclarecimentos adicionais.
Resposta
Após analisar os cálculos e considerar diferentes interpretações da taxa de juros, verificamos que, com as informações fornecidas, não é possível determinar um prazo válido para a terceira dívida que satisfaça a condição do investimento total. Recomenda-se revisar os dados do exercício ou buscar esclarecimentos adicionais para uma resolução correta.