Exercício 4: Função Acumulada e Variância
Seja Z uma variável aleatória com a função de densidade de probabilidade (f.d.p.) dada por:
f(z)=ll 4 z(1-z), & 0 <= z <= 1 0, & caso contr tildeAj rio
  1. Função de Distribuição Acumulada (F.A.D.): Determine a função acumulada F(z) para Z.
  2. Variância: Calcule a variância Var(Z) de Z.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função de distribuição acumulada (F.A.D.) e a variância de uma v.a. Z cuja densidade é dada por f(z)=4z(1-z) em [0,1]. Vamos usar integração para obter a F.A.D. e depois calcular momentos para a variância.

Passo 2

Para 0<= z<=1, temos
F(z)=integral0^z4t(1-t),dt=4integral0^z(t - t^2),dt=4l(t^22-t^33r)|0^z=2z^2-43z^3
A função acumulada completa é dada por
F(z)=0,&z<0,2z^2-tfrac43z^3,&0<= z<=1,1,&z>1

Passo 3

Calculamos agora os momentos:
E[Z]=integral0^1z,f(z),dz=integral0^14z^2(1-z),dz=13,
E[Z^2]=integral0^1z^2,f(z),dz=integral0^14z^3(1-z),dz=15

Passo 4

Por fim, a variância é
Var(Z)=E[Z^2]-(E[Z])^2=15-l(13r)^2=445

Resposta

A função acumulada é
F(z)=0,&z<0,2z^2-tfrac43z^3,&0<= z<=1,1,&z>1,
e a variância é Var(Z)=tfrac445.

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