Calcule
e
, onde
é a superfície fronteira de
, e verifique que o Teorema de divergente é verdadeiro.
é a esfera sólida
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o campo vetorial
e a região
, que é a esfera sólida definida por
. Precisamos calcular duas integrais:
- A integral tripla do divergente de
sobre , ou seja, . - A integral de superfície de
sobre a fronteira de , ou seja, .
Depois disso, vamos verificar se o Teorema da Divergente é válido para esses cálculos. Para isso, vamos precisar conhecer o que é o divergente de um campo vetorial e como calcular integrais de volume e de superfície.
Passo 2
Vamos começar calculando o divergente de
. O divergente de um campo vetorial
é dado por:
No nosso caso,
, então:
Calculando cada derivada:
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral tripla de
sobre a região
:
Isso significa que estamos calculando o volume da esfera sólida
. A equação da esfera é
, o que nos diz que o raio
da esfera é
(já que
).
O volume
de uma esfera é dado por:
Substituindo
:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de superfície
, onde
é o vetor normal à superfície
.
Como
é a superfície da esfera de raio
, podemos usar a simetria esférica para simplificar os cálculos. O vetor normal
em uma esfera centrada na origem é simplesmente a direção radial, ou seja:
pois ao longo de
,
.
Portanto, a integral de superfície fica:
Calculando o produto escalar:
Então:
Passo 5
Vamos simplificar a integral. Devido à simetria da esfera, algumas das integrais se anulam. Observe que a função
é ímpar em relação a ambas as variáveis
e
. Integrar uma função ímpar sobre uma esfera centrada na origem resulta em zero, pois as contribuições positivas e negativas se cancelam.
Já a função
é par e permanece. Então:
Agora, precisamos calcular
. Devido à simetria esférica, sabemos que:
E a soma dessas integrais é:
Como as três integrais são iguais:
No nosso caso,
:
Então:
Resposta
Isso confirma que o Teorema da Divergente é verdadeiro para este caso.