Calcule integral triplaE Div(F) d V e integral duplaS F d S, onde S é a superfície fronteira de E, e verifique que o Teorema de divergente é verdadeiro.
F(x, y, z)=(z, y, x), E é a esfera sólida x^2+y^2+z^2 <= 16.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o campo vetorial F(x, y, z) = (z, y, x) e a região E, que é a esfera sólida definida por x^2 + y^2 + z^2 <= 16. Precisamos calcular duas integrais:
  1. A integral tripla do divergente de F sobre E, ou seja, integral triplaE Div(F) , dV.
  2. A integral de superfície de F sobre a fronteira S de E, ou seja, integral duplaS F cdot n , dS.
Depois disso, vamos verificar se o Teorema da Divergente é válido para esses cálculos. Para isso, vamos precisar conhecer o que é o divergente de um campo vetorial e como calcular integrais de volume e de superfície.

Passo 2

Vamos começar calculando o divergente de F. O divergente de um campo vetorial F = (Fx, Fy, Fz) é dado por:
Div(F) = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
No nosso caso, F = (z, y, x), então:
Div(F) = partial zpartial x + partial ypartial y + partial xpartial z
Calculando cada derivada:
partial zpartial x = 0 partial ypartial y = 1 partial xpartial z = 0
Portanto:
Div(F) = 0 + 1 + 0 = 1

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral tripla de Div(F) sobre a região E:
integral triplaE Div(F) , dV = integral triplaE 1 , dV
Isso significa que estamos calculando o volume da esfera sólida E. A equação da esfera é x^2 + y^2 + z^2 <= 16, o que nos diz que o raio R da esfera é 4 (já que R = raiz16 = 4).
O volume V de uma esfera é dado por:
V = 43 pi R^3
Substituindo R = 4:
V = 43 pi (4)^3 = 43 pi cdot 64 = 2563 pi
Então:
integral triplaE Div(F) , dV = 2563 pi

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot n , dS, onde n é o vetor normal à superfície S.
Como S é a superfície da esfera de raio 4, podemos usar a simetria esférica para simplificar os cálculos. O vetor normal n em uma esfera centrada na origem é simplesmente a direção radial, ou seja:
n = (x, y, z)raizx^2 + y^2 + z^2 = (x, y, z)4
pois ao longo de S, raizx^2 + y^2 + z^2 = 4.
Portanto, a integral de superfície fica:
integral duplaS F cdot n , dS = integral duplaS (z, y, x) cdot (x, y, z)4 , dS
Calculando o produto escalar:
(z)(x) + (y)(y) + (x)(z) = zx + y^2 + xz = 2xz + y^2
Então:
integral duplaS F cdot n , dS = 14 integral duplaS (2xz + y^2) , dS

Passo 5

Vamos simplificar a integral. Devido à simetria da esfera, algumas das integrais se anulam. Observe que a função xz é ímpar em relação a ambas as variáveis x e z. Integrar uma função ímpar sobre uma esfera centrada na origem resulta em zero, pois as contribuições positivas e negativas se cancelam.
Já a função y^2 é par e permanece. Então:
integral duplaS F cdot n , dS = 14 integral duplaS y^2 , dS
Agora, precisamos calcular integral duplaS y^2 , dS. Devido à simetria esférica, sabemos que:
integral duplaS x^2 , dS = integral duplaS y^2 , dS = integral duplaS z^2 , dS
E a soma dessas integrais é:
integral duplaS x^2 + y^2 + z^2 , dS = integral duplaS R^2 , dS = R^2 cdot 4 pi R^2 = 4 pi R^4
Como as três integrais são iguais:
3 integral duplaS y^2 , dS = 4 pi R^4 integral duplaS y^2 , dS = 43 pi R^4
No nosso caso, R = 4:
integral duplaS y^2 , dS = 43 pi (4)^4 = 43 pi cdot 256 = 10243 pi
Então:
integral duplaS F cdot n , dS = 14 cdot 10243 pi = 2563 pi

Resposta

integral triplaE Div(F) , dV = integral duplaS F cdot n , dS = 2563 pi
Isso confirma que o Teorema da Divergente é verdadeiro para este caso.

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