Use o Teorema do Divergente para calcular o fluxo de F através da superfície S, ou seja, a integral de superfície integral duplaS F d S.
F(x, y, z)=(2 x^3+y^3, y^3+z^3, 3 y^2 z), S é a superfície delimitada pelo paraboloide z=1-x^2-y^2 e pelo plano x y.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de F(x,y,z)=(2x^3+y^3,;y^3+z^3,;3y^2z) através da superfície S limitada pelo paraboloide z=1-x^2-y^2 e pelo plano z=0. O conteúdo principal é o Teorema do Divergente, que diz que o fluxo de F pela fronteira de um volume V é igual à integral tripla de nablacdotF em V.

Passo 2

Calcular o divergente de F. Para F=(F1,F2,F3) temos
nablacdotF = partialpartial x(2x^3+y^3) + partialpartial y(y^3+z^3) + partialpartial z(3y^2z)
Derivando, obtemos nablacdotF=6x^2+6y^2.

Passo 3

Pelo Teorema do Divergente, o fluxo é
integral duplaSFcdot dS = integral triplaV(nablacdotF),dV
ou seja devemos calcular integral triplaV6(x^2+y^2),dV.

Passo 4

Passar para coordenadas cilíndricas: x=rcostheta, y=rsintheta, z=z. Então x^2+y^2=r^2 e dV=r,dr,dtheta,dz. A região V é dada por
0<= r<=1, 0<=theta<=2pi, 0<= z<=1-r^2
Logo a integral fica
6integral0^2piintegral0^1integral0^1-r^2r^2,r,dz,dr,dtheta

Passo 5

Avaliar a integral em etapas. Primeiro em z: integral0^1-r^2dz=1-r^2. Então
6integral0^2piintegral0^1r^3(1-r^2),dr,dtheta
Em r:
integral0^1(r^3-r^5),dr=[r^44-r^66]0^1=14-16=112
Multiplicando por 6 e por 2pi obtemos
6cdot2picdot112=pi

Resposta

pi

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