Use o Teorema do Divergente para calcular o fluxo de
através da superfície
, ou seja, a integral de superfície
.
,
é a superfície delimitada pelo paraboloide
e pelo plano
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da superfície
limitada pelo paraboloide
e pelo plano
. O conteúdo principal é o Teorema do Divergente, que diz que o fluxo de
pela fronteira de um volume
é igual à integral tripla de
em
.
Passo 2
Calcular o divergente de
. Para
temos
Derivando, obtemos
.
Passo 3
Pelo Teorema do Divergente, o fluxo é
ou seja devemos calcular
.
Passo 4
Passar para coordenadas cilíndricas:
,
,
. Então
e
. A região
é dada por
Logo a integral fica
Passo 5
Avaliar a integral em etapas. Primeiro em
:
. Então
Em
:
Multiplicando por
e por
obtemos