Use o Teorema do Divergente para calcular o fluxo de F através da superfície S, ou seja, a integral de superfície integral duplaS F d S.
F(x, y, z)=(z, y,-x z), S é o tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano x+y+z=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fluxo da campo vetorial F(x,y,z)=(z,y,-xz) através da superfície fechada S, que é o tetraedro delimitado pelos planos coordenados e pelo plano x+y+z=1. O conteúdo aqui é o Teorema da Divergência, e vamos precisar (1) calcular nablacdot F e (2) integrar esse divergente sobre o volume do tetraedro.

Passo 2

A teoria do Teorema da Divergência (ou Gauss) diz que
integral duplaS Fcdot d S =integral triplaV (nablacdot F),dV
então o primeiro passo prático é achar o divergente de F.

Passo 3

Calculando o divergente:
nablacdot F =partialpartial x(z)+partialpartial y(y)+partialpartial z(-xz) =0+1- x =1 - x
Aqui usamos que z não depende de x, que a derivada de y em relação a y é 1, e que partial(-xz)/partial z=-x.

Passo 4

Agora montamos a integral tripla sobre o tetraedro V=(x,y,z):x,y,z>=0,;x+y+z<=1:
integral triplaV(1-x),dV =integralx=0^1integraly=0^1-xintegralz=0^1-x-y(1-x),dz,dy,dx
Começamos integrando em z, depois em y e, por fim, em x.

Passo 5

Integração passo a passo:
  1. Em z:
integral0^1-x-y(1-x),dz=(1-x)(1-x-y)
  1. Em y:
integral0^1-x(1-x)(1-x-y),dy =(1-x)integral0^1-x(1-x-y),dy =(1-x)cdot(1-x)^22 =(1-x)^32
  1. Em x:
integral0^1(1-x)^32,dx =12integral0^1(1-x)^3,dx =12cdot14 =18
Usamos que integral0^1(1-x)^n,dx=1/(n+1).

Passo 6

Portanto, pelo Teorema da Divergência, o fluxo de F através de S é o valor dessa integral tripla.

Resposta

18

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