Use o Teorema do Divergente para calcular o fluxo de
através da superfície
, ou seja, a integral de superfície
.
é o tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o fluxo da campo vetorial
através da superfície fechada
, que é o tetraedro delimitado pelos planos coordenados e pelo plano
. O conteúdo aqui é o Teorema da Divergência, e vamos precisar (1) calcular
e (2) integrar esse divergente sobre o volume do tetraedro.
Passo 2
A teoria do Teorema da Divergência (ou Gauss) diz que
então o primeiro passo prático é achar o divergente de
.
Passo 3
Calculando o divergente:
Aqui usamos que
não depende de
, que a derivada de
em relação a
é 1, e que
.
Passo 4
Agora montamos a integral tripla sobre o tetraedro
:
Começamos integrando em
, depois em
e, por fim, em
.
Passo 5
Integração passo a passo:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Usamos que
.
Passo 6
Portanto, pelo Teorema da Divergência, o fluxo de
através de
é o valor dessa integral tripla.