Esboce o conjunto de pontos determinados pela condição dada.
|2 barz+i|=4.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que desenhar (esboçar) o conjunto de pontos no plano complexo que satisfazem a condição $ |2 \overline{z} + i| = 4 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de números complexos, como módulo e conjugado.

Passo 2

Vamos representar o número complexo $ z $ como $ z = x + iy $, onde $ x $ e $ y $ são números reais. O conjugado de $ z $ é $ \overline{z} = x - iy $.

Passo 3

Substituímos $ z $ e $ \overline{z} $ na equação dada:
z

Passo 4

Simplificamos a expressão dentro do módulo:
2x - 2iy + i = 2x + (-2y + 1)i

Passo 5

O módulo de um número complexo $ a + bi $ é dado por $ \sqrt{a^2 + b^2} $. Aplicando isso:
a + bi

Passo 6

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(2x)^2 + (-2y + 1)^2 = 16
4x^2 + 4y^2 - 4y + 1 = 16

Passo 7

Vamos simplificar a equação:
4x^2 + 4y^2 - 4y = 15
Dividindo todos os termos por 4:
x^2 + y^2 - y = 154

Passo 8

Para facilitar o reconhecimento da figura, completamos o quadrado para a variável $ y $:
y
Substituindo na equação:
y^2 - y = y^2 - y + (12)^2 - (12)^2 = (y - 12)^2 - 14

Passo 9

Isolamos o lado esquerdo:
x^2 + (y - 12)^2 = 4

Resposta

O conjunto de pontos é um círculo com centro no ponto $ (0, \frac{1}{2}) $ e raio $ 2 $.

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