Esboce o conjunto de pontos determinados pela condição dada.
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que desenhar (esboçar) o conjunto de pontos no plano complexo que satisfazem a condição $ |2 \overline{z} + i| = 4 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de números complexos, como módulo e conjugado.
Passo 2
Vamos representar o número complexo $ z $ como $ z = x + iy $, onde $ x $ e $ y $ são números reais. O conjugado de $ z $ é $ \overline{z} = x - iy $.
Passo 3
Substituímos $ z $ e $ \overline{z} $ na equação dada:
Passo 4
Simplificamos a expressão dentro do módulo:
Passo 5
O módulo de um número complexo $ a + bi $ é dado por $ \sqrt{a^2 + b^2} $. Aplicando isso:
Passo 6
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 7
Vamos simplificar a equação:
Dividindo todos os termos por 4:
Passo 8
Para facilitar o reconhecimento da figura, completamos o quadrado para a variável $ y $:
Substituindo na equação:
Passo 9
Isolamos o lado esquerdo:
Resposta
O conjunto de pontos é um círculo com centro no ponto $ (0, \frac{1}{2}) $ e raio $ 2 $.