Calcule integral triplaK x d x d y d z, K(x, y, z): x >= 0, y >= 0, z >= 0, x+y+z <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral triplaK x,dx,dy,dz, onde K=(x,y,z):x>=0, y>=0, z>=0, x+y+z<=1. O conteúdo é integrais múltiplas em coordenadas cartesianas: vamos precisar definir limites de integração e executar as integrais em sequência.

Passo 2

Para descrever K em limites, notamos que z varia de 0 a 1; para cada z, y varia de 0 a 1-z; e para cada y,z, x varia de 0 a 1-y-z. Assim o integral vira
integralz=0^1 integraly=0^1-z integralx=0^1-y-z x ,dx,dy,dz

Passo 3

Integramos primeiro em x. Usando integral0^a x,dx=tfraca^22 com a=1-y-z, obtemos
integral0^1-y-z x,dx=(1-y-z)^22
Substituindo, o integral fica tfrac12integral0^1integral0^1-z(1-y-z)^2,dy,dz.

Passo 4

Agora integramos em y. Fazendo a mudança t=1-y-z transforma-se
integral0^1-z(1-y-z)^2,dy = integral0^1-zt^2,dt = (1-z)^33
Logo o integral reduz-se a tfrac12cdottfrac(1-z)^33=tfrac(1-z)^36

Passo 5

Por fim, integramos em z. Ficamos com
integral0^1 (1-z)^36,dz = 16integral0^1(1-z)^3,dz
Como integral0^1(1-z)^3,dz=tfrac14, o valor dessa expressão é tfrac16cdottfrac14.

Resposta

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