(3,0 pontos) Considere o campo vetorial
.
(a) Calcule
e
e conclua se
é conservativo ou não.
(a) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um campo vetorial
. Nosso objetivo é calcular as derivadas parciais
e
e ver se esse campo vetorial é conservativo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes do nosso campo vetorial
, onde:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Isso significa que tratamos
como uma constante e derivamos
em relação a
:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, isto é,
. Aqui, tratamos
como uma constante e derivamos
em relação a
:
Passo 5
Agora, comparamos as duas derivadas parciais que calculamos:
Vemos que
.
Passo 6
Quando em um campo vetorial as derivadas parciais cruzadas são iguais, isto é,
, isso indica que o campo é conservativo. Um campo conservativo significa que ele pode ser derivado de uma função potencial, ou seja, existe uma função
tal que
.
Resposta
Como
, o campo vetorial
é conservativo.