(3,0 pontos) Considere o campo vetorial F(x, y)=(3+2 x y, x^2-3 y^2).
(a) Calcule partial Ppartial y e partial Qpartial x e conclua se F é conservativo ou não.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um campo vetorial F(x, y) = (3 + 2xy, x^2 - 3y^2). Nosso objetivo é calcular as derivadas parciais partial Ppartial y e partial Qpartial x e ver se esse campo vetorial é conservativo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes do nosso campo vetorial F(x, y) = (P, Q), onde:
  • P(x, y) = 3 + 2xy
  • Q(x, y) = x^2 - 3y^2

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de P em relação a y, ou seja, partial Ppartial y. Isso significa que tratamos x como uma constante e derivamos P em relação a y:
partial Ppartial y = partialpartial y(3 + 2xy) = 0 + 2x = 2x

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de Q em relação a x, isto é, partial Qpartial x. Aqui, tratamos y como uma constante e derivamos Q em relação a x:
partial Qpartial x = partialpartial x(x^2 - 3y^2) = 2x - 0 = 2x

Passo 5

Agora, comparamos as duas derivadas parciais que calculamos:
partial Ppartial y = 2x e partial Qpartial x = 2x
Vemos que partial Ppartial y = partial Qpartial x.

Passo 6

Quando em um campo vetorial as derivadas parciais cruzadas são iguais, isto é, partial Ppartial y = partial Qpartial x, isso indica que o campo é conservativo. Um campo conservativo significa que ele pode ser derivado de uma função potencial, ou seja, existe uma função f(x, y) tal que F = nabla f.

Resposta

Como partial Ppartial y = partial Qpartial x, o campo vetorial F(x, y) = (3 + 2xy, x^2 - 3y^2) é conservativo.

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