Calcule integral duplaB x y d x d y, onde B=(x, y): 0 <= x <= 1, raizx <= y <= x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaB x,y,dx,dy, onde o conjunto B é dado por 0 <= x <= 1 e raizx <= y <= x. Vamos usar definições de região e análise de desigualdades para ver se há pontos em B.

Passo 2

Para que a faixa raizx <= y <= x faça sentido (isto é, tenha valores de y), precisamos ter raizx <= x. Vamos analisar essa desigualdade no intervalo 0 <= x <= 1:
Quadruplicamos (ou elevamos ao quadrado) e lembramos que, em [0,1], a função tmapsto t^2 é monótona crescente. A condição raizx <= x equivale a
x <= x^2
Rearranjando,
x^2 - x >= 0 Long<=ftrightarrow x(x - 1) >= 0

Passo 3

No intervalo [0,1], isso só é satisfeito em x = 0 e x = 1. Para qualquer x estritamente entre 0 e 1, temos raizx > x, o que faria a faixa de y vazia.
Logo, a região B não contém pontos de área positiva — é degenerada (apenas as fronteiras em x=0 e x=1, de medida zero). Sendo assim, a integral dupla de uma região de medida nula é zero.

Resposta

0

Exercícios relacionados