Determine se o problema de valor inicial posse solução na condição inicial dada:
(t-3) d yd t+(ln t) y=2 t,
y(-3)=1.

Passo 1

O enunciado pede para analisar se existe solução para o problema de valor inicial dado por (t-3)dydt + (ln t),y = 2t com condição y(-3)=1. O conteúdo envolve equações diferenciais lineares de primeira ordem e vamos usar o critério de existência e unicidade de soluções baseado na continuidade dos coeficientes.

Passo 2

Reescrevemos a EDO na forma padrão dividindo por (t-3): temos y' + p(t)y = g(t), onde p(t)=ln tt-3 e g(t)=2tt-3.

Passo 3

Para garantir existência local de solução pelo teorema de Picard-Lindelöf precisamos que p(t) e g(t) sejam contínuas em torno do ponto inicial t0=-3. Note que p(t) envolve ln t, que só está definido para t>0.

Passo 4

Como a condição inicial está em t=-3, que é fora do domínio t>0 onde ln t faz sentido, os coeficientes não estão definidos em t0 e não podemos aplicar o teorema de existência e unicidade.

Passo 5

Portanto o problema de valor inicial não possui solução real passando por t=-3.

Resposta

O problema de valor inicial não possui solução, pois ln t não está definido em t=-3.

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