Calcule
integral triplaOmega f(x, y, z) d x d y d z,
onde f e Omega são como abaixo.
f(x, y, z)=x^2+y^2 e Omega é a região delimitada abaixo por z=0, acima pela esfera x^2+y^2+z^2=4 a^2 e lateralmente pelo cilindro x^2+y^2=2 a x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral triplaOmega(x^2+y^2),dx,dy,dz, onde Omega é limitada por z=0 por baixo, pela esfera x^2+y^2+z^2=4a^2 por cima e pelo cilindro x^2+y^2=2ax lateralmente. O conteúdo aqui é integração tripla, e vamos usar coordenadas cilíndricas para aproveitar a simetria em x^2+y^2.

Passo 2

Passamos para coordenadas cilíndricas: x=rcostheta, y=rsintheta, z=z. Nesse caso x^2+y^2=r^2, o elemento de volume é dV=r,dr,dtheta,dz e a função fica f=r^2.

Passo 3

Precisamos determinar os limites de integração em theta, r, z. A projeção lateral x^2+y^2<=2ax vira em polares r^2<=2arcostheta, ou seja 0<= r<=2acostheta com costheta>=0, logo -tfracpi2<=theta<=tfracpi2. Em z temos 0<= z<=raiz4a^2-r^2.

Passo 4

Montamos a integral em ordem dz,dr,dtheta:
integraltheta=-pi/2^pi/2integralr=0^2acosthetaintegralz=0^raiz4a^2-r^2r^2,(r),dz,dr,dtheta =integral-pi/2^pi/2integral0^2acosthetar^3l(integral0^raiz4a^2-r^2dzr)dr,dtheta

Passo 5

A integral em z é imediata: integral0^raiz4a^2-r^2dz=raiz4a^2-r^2. Assim resta
integral-pi/2^pi/2integral0^2acosthetar^3raiz4a^2-r^2,dr,dtheta

Passo 6

Para a integral em r usamos a substituição u=4a^2-r^2, du=-2r,dr. Fazendo as contas sai, após simplificar, que a integral interna vale
I(theta)=64a^515-32a^53l|sin^3thetar|+32a^55l|sin^5thetar|

Passo 7

Finalmente, integramos em theta de -pi/2 a pi/2. Como as parcelas com |sin^ntheta| são funções pares, usamos
integral0^pi/2!dtheta=tfracpi2,
integral0^pi/2!sin^3theta,dtheta=tfrac23,
integral0^pi/2!sin^5theta,dtheta=tfrac815. O resultado final, depois de somar e simplificar, é
final_answer

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