onde e são como abaixo. e é a região delimitada abaixo por , acima pela esfera e lateralmente pelo cilindro ;
Passo 1
O enunciado pede para calcular , onde é limitada por por baixo, pela esfera por cima e pelo cilindro lateralmente. O conteúdo aqui é integração tripla, e vamos usar coordenadas cilíndricas para aproveitar a simetria em .
Passo 2
Passamos para coordenadas cilíndricas: , , . Nesse caso , o elemento de volume é e a função fica .
Passo 3
Precisamos determinar os limites de integração em . A projeção lateral vira em polares , ou seja com , logo . Em temos .
Passo 4
Montamos a integral em ordem :
Passo 5
A integral em é imediata: . Assim resta
Passo 6
Para a integral em usamos a substituição , . Fazendo as contas sai, após simplificar, que a integral interna vale
Passo 7
Finalmente, integramos em theta de -pi/2 a pi/2. Como as parcelas com |sin^ntheta| são funções pares, usamos integral0^pi/2!dtheta=tfracpi2, integral0^pi/2!sin^3theta,dtheta=tfrac23, integral0^pi/2!sin^5theta,dtheta=tfrac815. O resultado final, depois de somar e simplificar, é
final_answer