Calcule
integral triplaOmega f(x, y, z) d x d y d z,
onde f e Omega são como abaixo.
f(x, y, z)=x+y+z e Omega é o hemisfério x^2+y^2+z^2 <= a^2, z >= 0;

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral triplaOmega(x+y+z),dx,dy,dz, onde Omega é o hemisfério definido por x^2+y^2+z^2<= a^2 e z>=0. O conteúdo envolve integração tripla em regiões com simetria e troca para coordenadas esféricas.

Passo 2

Note que a região Omega é simétrica em torno dos eixos x e y. Assim, por ser x e y funções ímpares em relação a essas simetrias, temos
integral triplaOmegax,dV=0 e integral triplaOmegay,dV=0
Logo só resta
integral triplaOmega(x+y+z),dV=integral triplaOmegaz,dV

Passo 3

Para calcular integral triplaOmegaz,dV, trocamos para coordenadas esféricas:
x=rsinphicostheta, y=rsinphisintheta, z=rcosphi,
com Jacobiano dV=r^2sinphi,dr,dphi,dtheta. Os limites são
0<= r<= a, 0<=phi<=pi2, 0<=theta<= 2pi
Então
integral triplaOmegaz,dV=integral0^2pi!dthetaintegral0^pi/2!dphiintegral0^a(rcosphi),(r^2sinphi),dr

Passo 4

Agora separamos em três integrais:
integral0^2pidtheta=2pi,
integral0^pi/2sinphicosphi,dphi=12,
integral0^ar^3,dr=a^44
Multiplicando tudo,
integral triplaOmegaz,dV=2pitimes12timesa^44=pi a^44

Resposta

pi a^44

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