Calcule
onde
e
são como abaixo.
e
é o hemisfério
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular
, onde
é o hemisfério definido por
e
. O conteúdo envolve integração tripla em regiões com simetria e troca para coordenadas esféricas.
Passo 2
Note que a região
é simétrica em torno dos eixos
e
. Assim, por ser
e
funções ímpares em relação a essas simetrias, temos
Logo só resta
Passo 3
Para calcular
, trocamos para coordenadas esféricas:
com Jacobiano
. Os limites são
Então
Passo 4
Agora separamos em três integrais:
Multiplicando tudo,