Calcule a integral integral triplaOmega d Vraizx^2+y^2+(z-2)^2, onde Omega é limitadá pela esfera x^2+y^2+z^2 <= 1.

Passo 1

O enunciado pede
I=integral triplaOmega dVraizx^2+y^2+(z-2)^2,
onde Omega é a bola x^2+y^2+z^2<=1.
Para aproveitar a simetria, vamos usar coordenadas esféricas centradas na origem, com eixo polar z.

Passo 2

Em coordenadas esféricas
x=rhosinthetacosphi, y=rhosinthetasinphi, z=rhocostheta, 0<=rho<=1,;0<=theta<=pi,;0<=phi<2pi,
temos
dV=rho^2sintheta,drho,dtheta,dphi, raizx^2+y^2+(z-2)^2 =raizrho^2+4-4rhocostheta
Logo
I =integral0^1!integral0^pi!integral0^2pi rho^2sinthetaraizrho^2+4-4rhocostheta ,dphi,dtheta,drho

Passo 3

Primeiro integramos em phi:
integral0^2pidphi=2pi,
de modo que
I =2piintegral0^1rho^2 l[integral0^pisintheta,dthetaraizrho^2+4-4rhocosthetar] drho
Para a integral em theta fazemos u=rho^2+4-4rhocostheta, de onde du=4rhosintheta,dtheta. Assim
integral0^pisintheta,dthetaraizrho^2+4-4rhocostheta =14rhointegral(rho-2)^2^(rho+2)^2u^-1/2du =14rhol[2raiz ur](rho-2)^2^(rho+2)^2 =( rho+2)-(2-rho)2rho=1
Portanto
I=2piintegral0^1rho^2,drho

Passo 4

Basta agora integrar em rho:
integral0^1rho^2drho=13,
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I=2picdot13=2pi3

Resposta

boxed2pi3

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