Calcule a integral
, onde
é limitadá pela esfera
.
Passo 1
O enunciado pede
onde
é a bola
.
Para aproveitar a simetria, vamos usar coordenadas esféricas centradas na origem, com eixo polar .
Para aproveitar a simetria, vamos usar coordenadas esféricas centradas na origem, com eixo polar
Passo 2
Em coordenadas esféricas
temos
Logo
Passo 3
Primeiro integramos em
phi :
de modo que
Para a integral em
theta fazemos
u=rho^2+4-4rhocostheta , de onde
du=4rhosintheta,dtheta . Assim
Portanto
Passo 4
Basta agora integrar em
rho :
logo