Se z=z(u, v) é definida implicitamente por f(xz, yz)=0, onde f é uma função diferenciável, mostre que
x partial zpartial x+y partial zpartial y=z

Passo 1

O enunciado diz que z=z(x,y) está definida implicitamente por
f!l(xz,,yzr)=0,
onde f é diferenciável. Queremos usar diferenciação implícita para obter partial zpartial x e partial zpartial y e daí mostrar que
x,partial zpartial x+y,partial zpartial y=z

Passo 2

Defina
u=xz, v=yz,
então a condição é f(u,v)=0. Diferenciando em relação a x (mantendo y fixo) e usando a cadeia, obtemos
fu,partial upartial x+fv,partial vpartial x=0
Como
partial upartial x =partialpartial xl(xzr) =1z-xz^2,partial zpartial x, partial vpartial x =partialpartial xl(yzr) =-yz^2,partial zpartial x,
temos
ful(1z-xz^2zxr) +fvl(-yz^2zxr)=0
Multiplicando tudo por z^2 e chamando zx=partial zpartial x, fica
fu,(z - x,zx)-fv,y,zx=0 ;;Longrightarrow;; zx,(x,fu+y,fv)=fu,z ;;Longrightarrow;; zx=fux,fu+y,fv,z

Passo 3

Analogamente, diferenciando f(u,v)=0 em relação a y (agora x fixo), obtemos
fu,partial upartial y+fv,partial vpartial y=0,
com
partial upartial y=-xz^2zy, partial vpartial y=1z-yz^2zy,
onde zy=partial zpartial y. Multiplicando por z^2
-fu,x,zy+fv,(z-y,zy)=0 ;;Longrightarrow;; zy,(x,fu+y,fv)=fv,z ;;Longrightarrow;; zy=fvx,fu+y,fv,z

Passo 4

Agora basta formar
x,zx+y,zy =x;fux,fu+y,fv,z +y;fvx,fu+y,fv,z =x,fu+y,fvx,fu+y,fv;z =z

Resposta

x,partial zpartial x+y,partial zpartial y=z

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