Calcule o volume de Omega, sabendo que o mesmo é o sólido delimitado pela esfera x^2+y^2+z^2=2 a^2 e pelo parabolóide z=(x^2+y^2) / a, onde a é uma constante positiva.

Passo 1

O enunciado pede o volume de Omega, sólido limitado pela esfera
x^2+y^2+z^2=2a^2
e pelo parabolóide
z=x^2+y^2a,
onde a>0. Como há simetria circular em torno do eixo z, vamos usar coordenadas cilíndricas (r,theta,z) e a fórmula do volume
V=integral0^2pi!integralr=0^rmax!integralz=zmin(r)^z=zmax(r)r,dz,dr,dtheta

Passo 2

Determinar o valor de rmax onde o parabolóide e a esfera se encontram. Em cilíndricas temos
zrm parab= r^2a, zrm esfera= raiz2a^2-r^2
Igualando
r^2a=raiz2a^2-r^2,
e elevando ao quadrado,
r^4a^2=2a^2-r^2 Longrightarrow r^4+a^2r^2-2a^4=0
Em u=r^2 isto dá u^2+a^2u-2a^4=0, cujas raízes são u=a^2 e u=-2a^2. Logo
rmax=a

Passo 3

O volume fica
V =integral0^2pi!integral0^a!integralr^2/a^raiz2a^2-r^2r,dz,dr,dtheta =2piintegral0^arl(raiz2a^2-r^2-r^2ar)dr
Chamando
I1=integral0^arraiz2a^2-r^2,dr, I2=integral0^ar,r^2a,dr,
temos V=2pi,(I1-I2).

Passo 4

Calcular I1 por substituição u=2a^2-r^2, du=-2r,dr:
I1 =integral0^arraiz2a^2-r^2,dr =12integralu=a^2^u=2a^2raizu,du =13l((2a^2)^3/2-(a^2)^3/2r) =a^33l(2^3/2-1r)
E
I2 =1aintegral0^ar^3,dr =1acdota^44 =a^34

Passo 5

Substituindo em V=2pi,(I1-I2):
V =2pil[a^33(2^3/2-1)-a^34r] =2pi a^3l(2^3/2-13-14r) =pi a^3,8raiz2-76

Resposta

V=pi a^3,8raiz2-76

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